Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點P，過點P作⊙O的切線PD交AC于D．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）若∠BAC=120°，BC=4，求⊙O的半徑長．

Answer 1

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BC，
而AB=AC，
∴PB=PC，
而OB=OA，
∴OP為△ABC的中位線，
∴OP∥AC，
又∵DP是⊙O的切線，
∴OP⊥DP，
∴PD⊥AC；

（2）解：∵AP⊥BC，AB=AC，
∴AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠BAC=60°，
而BC=4，
∴PB=2，
在Rt△ABP中，∠B=90°-60°=30°，
∴PB=AP，
∴AP=2，
∴AB=2AP=4，
∴⊙O的半徑長為2．
分析：（1）根據直徑所對的圓周角為直角得到AP⊥BC，而AB=AC，由等腰三角形的性質得PB=PC，則OP為△ABC的中位線，得OP∥AC；根據切線的性質有OP⊥DP，即可得到結論；
（2）根據等腰三角形的性質得到AP平分∠BAC，即∠BAP=∠BAC=60°，在Rt△ABP中，∠B=90°-60°=30°，PB=BC=2，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到PB=AP，則AP=2，AB=2AP=4，即可得到⊙O的半徑長．
點評：本題考查了圓的切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了等腰三角形的性質、含30度的直角三角形三邊的關系以及圓周角定理的推論．