Question

AB是⊙O的直徑，C是弧BD的中點，CE⊥AB于E，BD交CE于點F．
（1）若CD=6，AC=8，則⊙O的半徑為________，CE的長是________，BD的長是________；
（2）求證：CF=BF．

Answer 1

解：（1）∵C是弧BD的中點，CD=6
∴BC=CD=6，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AB===10，
則⊙O的半徑為5，
S△ABC=AC•BC=AB•CE，
∴CE==4.8，
CE的長是 4.8，
∵C為弧BD中點，
∴弧CD=弧BC，
∵弧BC對的圓周角是∠CAB，弧CD對的圓周角是∠CBD，
∴∠CAB=∠CBD，
∵∠ACB=∠MCB，
∴△ACB∽△BCM，
∴=，
∴=，
CM=，
∴AM=8-=，
在Rt△BCM中，BC=6，CM=，由勾股定理得：BM=，
由相交弦定理得：AM×CM=BM×DM，
×=×DM
DM=，
BD=BM+DM=+=9.6，
故答案為：5，4.8，9.6．

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB﹦90°
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB﹦90°
∴∠BCE﹦90°-∠ACE﹦∠A，
∵C是弧BD的中點，
∴弧DC=弧BC，
∴∠CBD﹦∠A，
∴∠CBD﹦∠BCE，
∴CF﹦BF．
分析：（1）求出BC=CD=6，根據(jù)三角形面積公式求出AB，即可求出圓的半徑，證△ACB∽△BCM，得出比例式，求出DM，根據(jù)勾股定理求出BM，根據(jù)相交弦定理求出DM即可；
（2）求出∠BCE=∠A=∠CBD，根據(jù)等角對等邊求出即可．
點評：本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，相交弦定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理，垂徑定理等知識點的綜合運用，本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．