【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12.點(diǎn)D在直線CB上,以CA,CD為邊作矩形ACDE,直線AB與直線CE,DE的交點(diǎn)分別為F,G.
(1)如圖,點(diǎn)D在線段CB上,四邊形ACDE是正方形.
①若點(diǎn)G為DE中點(diǎn),求FG的長.
②若DG=GF,求BC的長.
(2)已知BC=9,是否存在點(diǎn)D,使得△DFG是等腰三角形?若存在,求該三角形的腰長;若不存在,試說明理由.
【答案】(1)①FG =2;②BC=12;(2)等腰三角形△DFG的腰長為4或20或或.
【解析】(1)①只要證明△ACF∽△GEF,推出,即可解決問題;②如圖1中,想辦法證明∠1=∠2=30°即可解決問題;
(2)分四種情形:①如圖2中,當(dāng)點(diǎn)D中線段BC上時(shí),此時(shí)只有GF=GD,②如圖3中,當(dāng)點(diǎn)D中線段BC的延長線上,且直線AB,CE的交點(diǎn)中AE上方時(shí),此時(shí)只有GF=DG,
③如圖4中,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上,且直線AB,EC的交點(diǎn)中BD下方時(shí),此時(shí)只有DF=DG,如圖5中,當(dāng)點(diǎn)D中線段CB的延長線上時(shí),此時(shí)只有DF=DG,分別求解即可解決問題;
(1)①在正方形ACDE中,DG=GE=6,
中Rt△AEG中,AG=,
∵EG∥AC,
∴△ACF∽△GEF,
∴,
∴,
∴FG=AG=2.
②如圖1中,正方形ACDE中,AE=ED,∠AEF=∠DEF=45°,
∵EF=EF,
∴△AEF≌△DEF,
∴∠1=∠2,設(shè)∠1=∠2=x,
∵AE∥BC,
∴∠B=∠1=x,
∵GF=GD,
∴∠3=∠2=x,
在△DBF中,∠3+∠FDB+∠B=180°,
∴x+(x+90°)+x=180°,
解得x=30°,
∴∠B=30°,
∴在Rt△ABC中,BC=.
(2)在Rt△ABC中,AB==15,
如圖2中,當(dāng)點(diǎn)D中線段BC上時(shí),此時(shí)只有GF=GD,
∵DG∥AC,
∴△BDG∽△BCA,
設(shè)BD=3x,則DG=4x,BG=5x,
∴GF=GD=4x,則AF=15-9x,
∵AE∥CB,
∴△AEF∽△BCF,
∴,
∴,
整理得:x2-6x+5=0,
解得x=1或5(舍棄)
∴腰長GD為=4x=4.
如圖3中,當(dāng)點(diǎn)D中線段BC的延長線上,且直線AB,CE的交點(diǎn)中AE上方時(shí),此時(shí)只有GF=DG,
設(shè)AE=3x,則EG=4x,AG=5x,
∴FG=DG=12+4x,
∵AE∥BC,
∴△AEF∽△BCF,
∴,
∴,
解得x=2或-2(舍棄),
∴腰長DG=4x+12=20.
如圖4中,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上,且直線AB,EC的交點(diǎn)中BD下方時(shí),此時(shí)只有DF=DG,過點(diǎn)D作DH⊥FG.
設(shè)AE=3x,則EG=4x,AG=5x,DG=4x+12,
∴FH=GH=DGcos∠DGB=(4x+12)×=,
∴GF=2GH=,
∴AF=GF-AG=,
∵AC∥DG,
∴△ACF∽△GEF,
∴
∴,
解得x=或-(舍棄),
∴腰長GD=4x+12=,
如圖5中,當(dāng)點(diǎn)D中線段CB的延長線上時(shí),此時(shí)只有DF=DG,作DH⊥AG于H.
設(shè)AE=3x,則EG=4x,AG=5x,DG=4x-12,
∴FH=GH=DGcos∠DGB=,
∴FG=2FH=,
∴AF=AG-FG=,
∵AC∥EG,
∴△ACF∽△GEF,
∴,
∴,解得x=或-(舍棄),
∴腰長DG=4x-12=,
綜上所述,等腰三角形△DFG的腰長為4或20或或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知AB=8,直線l與AB平行,且l與AB的距離為4,P是l上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PC ⊥AB,垂足為C,點(diǎn)C不與A,B重合,過A,C,P三點(diǎn)作⊙O.
(1)若⊙O與線段PB交于點(diǎn)D,∠PAD=22.5°,則∠APB等于多少度?
(2)如圖2,⊙O與線段PB的一個(gè)公共點(diǎn)為D,一條直徑垂直AB于點(diǎn)E,且與AD交于點(diǎn)M.
①若ME=,求AE的長;
②當(dāng)ME的長度最大時(shí),判斷直線PB與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市經(jīng)營的雜糧食物盒有A,B兩種型號(hào),單個(gè)盒子的容量和價(jià)格如下表所示,其中A型盒子正做促銷活動(dòng):一次性購買三個(gè)及以上可返現(xiàn)8元.
型號(hào) | A | B |
單個(gè)盒子的容量/升 | 4 | 6 |
單價(jià)/元 | 10 | 12 |
(1)張芳、王楠兩人結(jié)伴去購物,請你根據(jù)兩人的對話,判斷怎樣買最省錢:
張芳:“A型盒子有促銷,我正好買幾個(gè)裝大米用,我買4個(gè)正好夠用.”
王楠:“嗯,我也買幾個(gè),不過,我家得需要5個(gè).”
張芳:“走,結(jié)賬去.”
王楠:“等等,咱倆合計(jì)一下,怎么買最省錢…”
(2)小紅和媽媽也來買盒子,下面是兩人的對話:
媽媽:“這些盒子不錯(cuò),買5個(gè)B型讓孩子恰好能把咱家30升的小米都裝上”
小紅:“可是B型盒子沒有折扣,咱可以兩種盒子搭配著買,既能每個(gè)盒子都裝滿,還能省錢”
①設(shè)小紅需要買A型號(hào)的盒子x個(gè),一次性購買盒子的總費(fèi)用為y元,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)x=3時(shí),求小紅和媽媽當(dāng)天一次性購買盒子的總費(fèi)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解朝陽社區(qū)20~60歲居民最喜歡的支付方式,某興趣小組對社區(qū)內(nèi)該年齡段的部分居民展開了隨機(jī)問卷調(diào)查(每人只能選擇其中一項(xiàng)),并將調(diào)查數(shù)據(jù)整理后繪成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)求參與問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù).
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(3)該社區(qū)中20~60歲的居民約8000人,估算這些人中最喜歡微信支付方式的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)c在直線AB上,若AC= 4cm,BC= 6cm,E、F分別為線段AC、BC的中點(diǎn),則EF=________________cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某自行車廠一周計(jì)劃生產(chǎn)150輛自行車,平均每天生產(chǎn)輛,由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入,下表是某周的生產(chǎn)情況(超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負(fù)):
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
增減 |
(1)根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn) 輛;
(2)產(chǎn)量最多的一天比生產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn) 輛;
(3)該廠實(shí)行計(jì)劃工資制,每輛車元,超額完成任務(wù)每輛獎(jiǎng)元,少生產(chǎn)一輛扣元,那么該廠工人這一周的工資總額是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形,,,…按如圖所示的方式放置.點(diǎn),,,…和點(diǎn),,,…分別在直線和軸上,則點(diǎn)的坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲同學(xué)在拼圖探索活動(dòng)中發(fā)現(xiàn),用4個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形(直角邊長分別為a,b,斜邊長為c),可以拼成像如圖1那樣的正方形,并由此得出了關(guān)于a2,b2,c2的一個(gè)等式.
(1)請你寫出這一結(jié)論:______,并給出驗(yàn)證過程.
(2)試用上述結(jié)論解決問題:如圖2,P是Rt△ABC斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),已知AC=5,AB=13,求PC的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計(jì)算
(1)a5·(﹣a)3﹣(﹣2a2)4;
(2)[(x﹣2y)3]3÷[(2y﹣x)2]3
(3)﹣14﹣0.510×211+()0+3÷32
(4)()﹣1+50+[2﹣(﹣3)2]
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