Question

已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（0，6），點B和點C在x軸上（點B在點C的左邊，點C在原點的右邊），作BE⊥AC，垂足為E（點E與點A不重合），直線BE與y軸交于點D，若BD=AC．
（1）建立直角坐標(biāo)系，按給出的條件畫出圖形；
（2）求點B的坐標(biāo)；
（3）設(shè)OC長為m，△BOD的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況，①當(dāng)B在原點左邊時，②當(dāng)B在原點右邊時分別畫出圖象即可；
（2）①當(dāng)B在原點左邊時，利用同角的余角相等，得到∠1=∠2，再證△AOC≌△BOD，得到OA=OB，因為A（0，6），所以B（-6，0）；
②當(dāng)B在原點右邊時，同①可證OA=OB=6，所以B（6，0）；
（3）分兩種情況：當(dāng)B在原點左側(cè)時，因為△AOC≌△BOD，所以O(shè)C=DO=m，即可得到S=

1

2

OB•OD=3m（0＜m＜6）；當(dāng)B在原點右側(cè)時，同理可得S=3m（m＞6）；

解答：解：（1）依題意，分兩種情況
情況一：當(dāng)點B在原點的左邊時：如圖1所示；
情況二：當(dāng)點B在原點的右邊時：如圖2所示；


（2）如圖1：在Rt△AOC中，∵∠AOC=90°
∴∠1+∠3=90°
∵BE⊥AC，垂足為E，
∴∠BEC=90°，
∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，
在Rt△AOC中和Rt△BOD中

∠AOC=∠BOD ∠1=∠2 AC=BD

∴Rt△AOC≌Rt△BOD（AAS），
∴OA=OB，
∴A（0，6）∴B（-6，0），
（如圖2）同一可證得：OA=OB
∴B（6，0），
∴B點的坐標(biāo)為（-6，0）或（6，0）；

（3）如圖1中，Rt△AOC≌Rt△BOD
∴OC=OD=m
∴S=

1

2

•OB•OD=

1

2

×6×m，
∴S=3m     其中0＜m＜6，
如圖2中  同理可得：S=3m   其中m＞6，
∴所求函數(shù)解析式為：S=3m，其中m＞0，且m≠6．

點評：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及勾股定理和全等三角形等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論即可解決問題．