Question

如圖，⊙O的弦AB∥CD，直徑BE平分AD于點(diǎn)G，交弦CD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：BF與⊙O相切；
（2）求證：DF=DH；
（3）若弦AB=5cm，AD=8cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）由直徑BE平分AD于點(diǎn)G，根據(jù)垂徑定理即可證得BE⊥AD，又由BF∥AD，即可得EB⊥BF，即可證得BF與⊙O相切；
（2）易證得△ABG≌△DHG，即可得AB=DH，又由AB∥CD，BF∥AD，可得四邊形ADFB是平行四邊形，即可證得DF=AB，則可證得DF=DH；
（3）首先在Rt△ABG中求得BG的長(zhǎng)，然后設(shè)OA=xcm，由OA²=OG²+AG²，可得方程x²=16+（x-3）²，解此方程即可求得答案．

解答：（1）證明：∵直徑BE平分AD于點(diǎn)G，
∴BE⊥AD，
∵BF∥AD，
∴EB⊥BF，
∴BF與⊙O相切；

（2）∵AB∥CD，
∴∠ABG=∠GHD，∠A=∠GDH，
在△ABG和△DHG中，

∠ABG=∠GHD ∠A=∠GDH AG=CG

，
∴△ABG≌△DHG（AAS），
∴AB=DH，
∵AB∥CD，AD∥BF，
∴四邊形ADFB是平行四邊形，
∴DF=AB，
∴DF=DH；

（3）連接OA，
∵BE⊥AD，
∴AG=

1

2

AD=

1

2

×8=4（cm），∠BGA=90°，
∵AB=5cm，
∴BG=

AB2-AG2

=

52-42

=3（cm），
設(shè)OA=xcm，則OG=OB-BG=x-3（cm），
∵OA²=OG²+AG²，
∴x²=16+（x-3）²，
解得：x=

25

6

．
∴⊙O的半徑

25

6

cm．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理，垂徑定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．