Question

已知，如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是CD、BC的點(diǎn)，若AE⊥EF，則：
①求證：△ADE∽△ECF；
②若AD=4，DE=6，CF=3，則試求EF的長度．

Answer 1

證明：（1）∵∠ADE=∠FCE=90°，
又∵AE⊥EF，
∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°，
又∵∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠EFC=∠AED，
∴△ADE∽△ECF；

（2）∵△ADE∽△ECF，
∴CF：CE=DE：DA，
∴6CE=3×4，
∴CE=2，
∴EF==．
分析：（1）利用互余關(guān)系證明∠EFC=∠AED，又有∠ADE=∠FCE=90°，可證△ADE∽△ECF；
（2）由（1）的相似得CF：CE=DE：DA，可得CE的長，再根據(jù)勾股定理可求EF的長度．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)．關(guān)鍵是利用互余關(guān)系證明相似三角形．