Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=BC，BH是高，點M是邊AB的中點，而經(jīng)過點B、M與C的圓同BH的交點是K，求證：BK=

3

2

R，其中R是△ABC的外接圓半徑．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：證明題

分析：作輔助線過點M，B，C的圓心是O，△ABC的外接圓為O₁，半徑為R，BM的中點是N，連接OB，ON，OO₁，O₁M，OK，O₁C，ON與BH交于點L．由點M是邊AB的中點，O₁為△ABC的外接圓，得出O₁M⊥AB，同理得出ON⊥BM，從而得出BN=MN，MK∥ON，由中位線定理可得BL=LO₁=

1

2

R，通過角，邊的關(guān)系可證出△OBO₁≌△OLK（AAS），從而得出BO₁=LK=R，O₁K=BL=

1

2

R，即可得出結(jié)論BK=

3

2

R．

解答：證明：設(shè)過點M，B，C的圓心是O，△ABC的外接圓為O₁，半徑為R，BM的中點是N，連接OB，ON，OO₁，O₁M，OK，O₁C，ON與BH交于點L．
∵點M是邊AB的中點，O₁為△ABC的外接圓，
∴O₁M⊥AB，
∵BM的中點是N，
∴ON⊥BM，BN=MN，MK∥ON，
∴BL=LO₁=

1

2

O₁B=

1

2

R，
∵OO₁⊥BC，
∴∠OO₁B+∠O₁BC=90°，
∵∠OLO₁+∠O₁BN=∠BLN+∠O₁BN=90°，∠O₁BC=∠O₁BN，
∴∠OO₁B=∠OLO₁，
又∵OB=OK，∠OBO₁=∠OKL，
在△OBO₁和△OLK中，

∠OO1B=∠OLO1 ∠OBO1=∠OKL OB=OK

，
∴△OBO₁≌△OLK（AAS），
∴BO₁=LK=R，
∴O₁K=BL=

1

2

R，
∴BK=

3

2

R．

點評：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，靈活運用三角形外接圓圓心及弦的有關(guān)知識．