Question

【題目】如圖1，菱形紙片ABCD的邊長為2，∠ABC=60°，翻折∠B，∠D，使點(diǎn)B，D兩點(diǎn)重合于對角線BD上一點(diǎn)P，EF，GH分別是折痕（如圖2）．設(shè)AE=x（0＜x＜2），給出下列判斷：

①當(dāng)x=1時(shí)，點(diǎn)P是菱形ABCD的中心；②當(dāng)x= 時(shí)，EF+GH＞AC；③當(dāng)0＜x＜2時(shí)，六邊形AEFCHG面積的最大值是 ；④當(dāng)0＜x＜2時(shí)，六邊形AEFCHG周長的值不變．其中正確結(jié)論是________．（填序號）

Answer 1

【答案】①④

【解析】

先確定出△ABC是等邊三角形，進(jìn)而判斷出△BEF是等邊三角形，當(dāng)x=1時(shí)，求出，即可判斷出①正確，再用x表示出EF，BP，DP，GH，然后取x賦予的值，即可求出EF，GH，判斷出②錯(cuò)誤，利用菱形的面積減去兩個(gè)三角形的面積判斷出③錯(cuò)誤，利用周長的計(jì)算方法即可判定出④正確．

∵菱形ABCD的邊長為2，

∴AB=BC=2，

∵

∴

由折疊知，△BEF是等邊三角形，

當(dāng)x=1時(shí)，則AE=1，

∴BE=ABAE=1，

由折疊知,

∴點(diǎn)P是菱形ABCD的對角線的交點(diǎn)，

即：點(diǎn)P是菱形ABCD的中心，所以①正確，

如圖，

∵AE=x，

∴BE=ABAE=2x，

∵△BEF是等邊三角形，

∴EF=BE=2x，

∴

∴

∴

∴

∴

當(dāng)時(shí),

∴

∵△BEF是等邊三角形，

∴

∴

∴

∴EF+GH=2=AC，所以②錯(cuò)誤；

當(dāng)0<x<2時(shí)，

∵AE=x，

∴BE=2x，

∴EF=2x，

∴

∴

∴

∴六邊形AEFCHG面積=S菱形ABCDS△BEFS△DGH

∴當(dāng)x=1時(shí),六邊形AEFCHG面積最大為，所以③錯(cuò)誤，

六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH+HG+AG=x+2x+x+2x+x+2x=6是定值，

所以④正確，即：正確的有①④，

故答案為:①④.