Question

如圖①，過點（1，5）和（4，2）兩點的直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點．
（1）如果一個點的橫、縱坐標均為整數(shù)，那么我們稱這個點是格點．圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點的個數(shù)有

 

個（請直接寫出結(jié)果）；
（2）設(shè)點C（4，0），點C關(guān)于直線AB的對稱點為D，請直接寫出點D的坐標

 

；
（3）如圖②，請在直線AB和y軸上分別找一點M、N使△CMN的周長最短，在圖②中作出圖形，并求出點N的坐標．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為y=-x+6；再分別把x=2、3、4、5代入，求出對應(yīng)的縱坐標，從而得到圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點的坐標；
（2）首先根據(jù)直線AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可求出點D的坐標；
（3）作出點C關(guān)于直線y軸的對稱點E，連接DE交AB于點M，交y軸于點N，則此時△CMN的周長最短．由D、E兩點的坐標利用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式，再根據(jù)y軸上點的坐標特征，即可求出點N的坐標．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把（1，5），（4，2）代入得，
kx+b=5，4k+b=2，
解得k=-1，b=6，
∴直線AB的解析式為y=-x+6；
當x=2，y=4；
當x=3，y=3；
當x=4，y=2；
當x=5，y=1．
∴圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點的有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），
（3，1），（3，2），
（4，1）．
一共10個；

（2）∵直線y=-x+6與x軸、y軸交于A、B兩點，
∴A點坐標為（6，0），B點坐標為（0，6），
∴OA=OB=6，∠OAB=45°．
∵點C關(guān)于直線AB的對稱點為D，點C（4，0），
∴AD=AC=2，AB⊥CD，
∴∠DAB=∠CAB=45°，
∴∠DAC=90°，
∴點D的坐標為（6，2）；

（3）作出點C關(guān)于直線y軸的對稱點E，連接DE交AB于點M，交y軸于點N，則NC=NE，點E（-4，0）．
又∵點C關(guān)于直線AB的對稱點為D，∴CM=DM，
∴△CMN的周長=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE，此時周長最短．
設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n．
把D（6，2），E（-4，0）代入，得
6m+n=2，-4m+n=0，
解得m=

1

5

，n=

4

5

，
∴直線DE的解析式為y=

1

5

x+

4

5

．
令x=0，得y=

4

5

，
∴點N的坐標為（0，

4

5

）．
故答案為10；（6，2）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，橫縱坐標都為整數(shù)的點的坐標的確定方法，軸對稱的性質(zhì)及軸對稱-最短路線問題，綜合性較強，有一定難度．