Question

4．在平面直角坐標系內xOy中，過雙曲線y=$\frac{6}{x}$（x＞0）上動點A分別作x軸，y軸的垂線段AB，AC，線段AB，AC與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞，0＜k＜6）分別交于E，F(xiàn)，記△OEF面積S₁，記△AEF的面積為S₂，則S=S₁-S₂的最大值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 設點A的坐標為（m，$\frac{6}{m}$），再表示出點E、F的坐標，從而可得AE、AF的長，根據(jù)S₁=S_梯形AFOB-S_△OBE-S_△AEF用含k的式子表示出S₁、根據(jù)三角形面積公式表示出S₂，繼而可得含k的式子表示出的S，配方后即可得S的最大值．

解答 解：設點A的坐標為（m，$\frac{6}{m}$），
則點E（m，$\frac{k}{m}$），點F（$\frac{mk}{6}$，$\frac{6}{m}$），
∴AF=m-$\frac{mk}{6}$，AE=$\frac{6}{m}$-$\frac{k}{m}$=$\frac{6-k}{m}$，
則S₁=S_梯形AFOB-S_△OBE-S_△AEF
=$\frac{1}{2}$•（m-$\frac{mk}{6}$+m）•$\frac{6}{m}$-$\frac{1}{2}$m•$\frac{k}{m}$-$\frac{1}{2}$•（m-$\frac{mk}{6}$）•$\frac{6-k}{m}$
=-$\frac{1}{12}$k²+3，
S₂=$\frac{1}{2}$•（m-$\frac{mk}{6}$）•$\frac{6-k}{m}$=$\frac{1}{12}$k²-k+3，
∴S=S₁-S₂=-$\frac{1}{12}$k²+3-（$\frac{1}{12}$k²-k+3）
=-$\frac{1}{6}$k²+k
=-$\frac{1}{6}$（k-3）²+$\frac{3}{2}$，
∴當k=3時，S取得最大值，最大值為$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，設出點A坐標，分別表示出AE、AF的長及S₁、S₂關于k的解析式是解題的關鍵．