Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，點E是BC的中點、F是CD上的點，聯(lián)結AE、EF、AC．

（1）求證：AO•OF=OC•OE；

（2）若點F是DC的中點，聯(lián)結BD交AE于點G，求證：四邊形EFDG是菱形．

 

 

Answer 1

(1)證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）由BC=2AD，點E是BC的中點，可得AD=CE，又由AD∥BC，可得四邊形AECD是平行四邊形，即可得AE∥CD，繼而證得△AOE∽△COF，即可判定AO•OF=OC•OE；

（2）易得EF是△BCD的中位線，則可判定四邊形EFDG是平行四邊形，又由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，證得DG=EG，繼而證得四邊形EFDG是菱形．

試題解析：（1）∵BC=2AD，點E是BC的中點，

∴AD=EC=BC，

∵在梯形ABCD中，AD∥BC，

∴四邊形AECD是平行四邊形，

∴AE∥CD，

∴△AOE∽△COF，

∴OA：OC=OE：OF，

∴AO•OF=OC•OE；

（2）∵E是BC的中點，F(xiàn)是CD的中點，

∴EF是△BCD的中位線，

∴EF∥BD，

∵AE∥CD，

∴四邊形EFDG是平行四邊形，

∵AD∥BC，

∴△ADG∽△EBG，

∴DG：BG=AD：EB=AG：EG，

∵AD=BE=BC，

∴AG=EG，DG=BG，

∵∠ABC=90°，

∴BG=GE=AE，

∴EG=DG，

∴四邊形EFDG是菱形．

考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.菱形的判定；3.梯形．