Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過點A（1，0）和B（3，0），點C（m，

15

）在拋物線的對稱軸上．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式．
（2）求證：△ABC是等腰三角形．
（3）動點P在線段AC上，從點A出發(fā)以每鈔1個單位的速度向C運動，同時動點Q在線段AB上，從B出發(fā)以每秒1個單位的速度向A運動．當(dāng)Q到達點A時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為t秒，求當(dāng)t為何值時，△APQ與△ABC相似．

Answer 1

（1）把A（1，0）和B（3，0）代入y=ax²+bx+3得：

a+b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得：

a=1 b=-4

，
∴拋物線的函數(shù)解析式是y=x²-4x+3．

（2）拋物線的對稱軸是x=2，
∵點C（m，

15

）在拋物線對稱軸上，
∴m=2，
∴點C（2，

15

），
∴CA=

1+15

=4，CB=

1+15

=4，
∴CA=CB
∴△ABC是等腰三角形．

（3）∠A是公共角，
①當(dāng)∠APQ=∠ACB時，△APQ∽△ACB，
∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2-t，
∴

t

4

=

2-t

2

，
解得：t=

4

3

．
②當(dāng)∠APQ=∠ABC時，△APQ∽△ABC，
∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2-t，
∴

t

2

=

2-t

4

，
∴t=

2

3

，
∴當(dāng)t=

4

3

或t=

2

3

時，△APQ與△ABC相似．