Question

8．若a＞0，M=$\frac{a}{a+1}$，N=$\frac{a+1}{a+2}$
（1）當(dāng)a=1時，M=$\frac{1}{2}$，N=$\frac{2}{3}$；當(dāng)a=3時，M=$\frac{3}{4}$，N=$\frac{4}{5}$；
（2）猜想M與N的大小關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）直接代入計算即可；
（2）利用求差法比較M與N的大小關(guān)系，根據(jù)分式的加減法運(yùn)算法則進(jìn)行計算，最后判斷其正負(fù)．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，M=$\frac{a}{a+1}$=$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，N=$\frac{a+1}{a+2}$=$\frac{1+1}{1+2}$=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)a=3時，M=$\frac{a}{a+1}$=$\frac{3}{3+1}$=$\frac{3}{4}$，N=$\frac{a+1}{a+2}$=$\frac{3+1}{3+2}$=$\frac{4}{5}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$；
（2）M＜N，理由是：
M-N=$\frac{a}{a+1}$-$\frac{a+1}{a+2}$，
=$\frac{a（a+2）-（a+1）^{2}}{（a+1）（a+2）}$，
=-$\frac{1}{（a+1）（a+2）}$，
∵a＞0，
∴（a+1）（a+2）＞0，
∴-$\frac{1}{（a+1）（a+2）}$＜0，
即M-N＜0，
∴M＜N．

點評 本題考查了分式的加減法和分式大小比較，分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是多項式時，要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘；對于大小比較問題，方法為：①求商法，②求差法，③平方法等．