Question

13．如圖，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CE的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，四邊形BCGF和CDHN都是正方形，求證：△FMH是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 BM、DM，如圖，F(xiàn)M交AC于P，先利用三角形中位線性質(zhì)得到BM∥CE，BM=DE=CD，DM∥BC，DM=AB=CB，則可判斷四邊形BMDC為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得∠CBM=∠CDM，接著證明∠FBM=∠HDM，MD=BF，DH=BM，于是可判斷△BMF≌△DHM，所以MF=MH，∠MFB=∠HMD，然后證明∠FMH=∠FBC=90°，從而得到△FMH是等腰直角三角形．

解答 證明：BM、DM，如圖，F(xiàn)M交AC于P，
∵點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CE的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，
∴BM∥CE，BM=DE=CD，DM∥BC，DM=AB=CB，
∴四邊形BMDC為平行四邊形，
∴∠CBM=∠CDM，
∵∠FBM=∠FBC+∠CBM，∠HDM=∠HDC+∠CDM，
∴∠FBM=∠HDM，
∵四邊形BCGF和CDHN都是正方形，
∴BC=BF，DH=CD，
∴MD=BF，DH=BM，
在△BMF和△DHM中
$\left\{\begin{array}{l}{BF=DM}\\{∠FBM=∠HDM}\\{BM=DH}\end{array}\right.$，
∴△BMF≌△DHM，
∴MF=MH，∠MFB=∠HMD，
∵BC∥MD，
∴∠BPM=∠PMD，
而∠BPM=∠PFB+∠FBP，∠PMD=∠PMH+∠HMD，
∴∠FMH=∠FBC=90°，
∴△FMH是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角．也考查了三角形中位線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)建△BMF與△DHM全等．