Question

如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其底邊長為8 cm，腰長為5 cm．一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從點(diǎn)B向點(diǎn)C以0.25 cm/s的速度移動(dòng)．請(qǐng)你探究：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多長時(shí)間時(shí)，點(diǎn)P與頂點(diǎn)A的連線PA與腰垂直？

Answer 1

答案：
解析：

分析：假設(shè)點(diǎn)P在從點(diǎn)B到點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)中的某一時(shí)刻有PA⊥AC．可設(shè)BP＝x cm，則PC＝(8－x) cm．在Rt△PAC中，由于AP的長不知道，無法建立方程．考慮到△ABC是等腰三角形，如作底邊上的高AD，則可用含x的式子表示出AP的長，用勾股定理便可求出x，進(jìn)而求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到D與C之間時(shí)，也存在AP⊥AB的情況，故要分類討論． 　　解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D． 　　當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B與點(diǎn)D之間，PA⊥AC時(shí)， 　　設(shè)BP＝x cm，則PC＝(8－x) cm． 　　由等腰三角形的性質(zhì)可知，BD＝DC＝BC＝4 cm． 　　在Rt△ADB中，AD2＋BD2＝AB2， 　　所以AD2＝AB2－BD2＝52－42＝9．解得AD＝3(cm)． 　　所以在Rt△ADP中，AP2＝AD2＋DP2， 　　即AP2＝32＋(4－x)2． 　　在Rt△PAC中，AP2＋AC2＝PC2， 　　所以32＋(4－x)2＋52＝(8－x)2． 　　解得x＝(cm)，即BP＝(cm)． 　　所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為÷0.25＝7(s)． 　　當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D與點(diǎn)C之間，A⊥AB時(shí)，C＝cm．所以＝8－＝(cm)． 　　此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為÷0.25＝25(s)． 　　所以當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)7 s或25 s時(shí)，PA與腰垂直． 　　總結(jié)：遇斜化直，借助勾股定理，可迅速找到解題的途徑．