Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)為CD的延長線上一點(diǎn)，連接AF，且FA²=FD•FC．
（1）求證：FA為⊙O的切線；
（2）若AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）連接BD、AD，由FA²=FD•FC可以證到△FAD∽△FCA，從而得到∠DAF=∠C，然后運(yùn)用圓周角定理就可解決問題．
（2）設(shè)CE=6x，AE=2y，則ED=5x，EB=3y，由相交弦定理得：EC•ED=EB•EA，從而得到y(tǒng)=

5

x．由AF²=EF²-AE²=FD•FC可以得到DF=5x，從而有AD=ED=DF=5x．由△FAD∽△FCA得到

AD

AC

=

DF

AF

，從而可以求出x，進(jìn)而求出AB的值．

解答：（1）證明：連接BD、AD，如圖，
∵FA²=FD•FC，
∴

FA

FD

=

FC

FA

．
∵∠F=∠F，
∴△FAD∽△FCA．
∴∠DAF=∠C．
∵∠DBA=∠C，
∴∠DBA=∠DAF．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠DBA+∠DAB=90°．
∴∠DAF+∠DAB=90°．
∴∠FAB=90°，即AF⊥AB．
∴FA為⊙O的切線．

（2）解：設(shè)CE=6x，AE=2y，則ED=5x，EB=3y．
由相交弦定理得：EC•ED=EB•EA．
∴30x²=6y²．
∴y=

5

x．
∴AE=2

5

x．
∵∠FAB=90°，
∴AF²=EF²-AE²．
∴FD•FC=EF²-AE²．
∴FD•（FD+11x）=（FD+5x）²-（2

5

x）²．
∴FD=5x．
∴AF²=FD•FC=80x²．
∴AF=4

5

x．
∵∠FAE=90°，F(xiàn)D=ED=5x，
∴AD=ED=5x．
∵△FAD∽△FCA．
∴

AD

AC

=

DF

AF

．
∵AD=DF=5x，AC=8，AF=4

5

x，
∴

5x

8

=

5x

4 5 x

．
解得：x=

2 5

5

．
∴AB=5y=5

5

x=10．
∴AB的值為10．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、相交弦定理、圓周角定理、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，有一定的難度，而利用AF²=FD•FC=EF²-AE²求出x是解決第二小題的關(guān)鍵．