Question

如圖1，已知等邊△ABC和等邊△ADE有一公共頂點A，連結(jié)BE、DC交于G，則有∠BGC=60°．

（1）請你證明這個結(jié)論；
（2）若△ABC和△ADE都為等腰直角三角形，如圖2，觀察圖形，寫出結(jié)論并加以證明； 
（3）若△ABC和△ADE都為頂角是α的兩個等腰三角形，如圖3，你能得到什么結(jié)論？請寫出這個結(jié)論；
（4）若△ABC和△ADE是頂角不相等的兩個等腰三角形，還有與（3）相同結(jié)論成立嗎？

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=60°，∠BAC=∠DAE，求出∠BAE=∠DAC，證出△BAE≌△CAD，推出∠ABE=∠ACD，求出∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB）即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=∠DAE，求出∠BAE=∠DAC，證出△BAE≌△CAD，推出∠ABE=∠ACD，求出∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB）即可；
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，求出∠BAE=∠DAC，證出△BAE≌△CAD，推出∠ABE=∠ACD，求出∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB）即可；
（4）根據(jù)已知不能推出∠ABE=∠ACD．

解答：（1）證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=60°，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△CAD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA+∠ACB）
=180°-（∠EBC+∠EBA+∠ACB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（60°+60°）
=60°；

（2）∠BGC=90°，
證明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△CAD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA+∠ACB）
=180°-（∠EBC+∠EBA+∠ACB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（45°+45°）
=90°；

（3）∠BGC=α，
理由是：∵△ABC和△ADE是都為頂角是α的兩個等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△CAD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA+∠ACB）
=180°-（∠EBC+∠EBA+∠ACB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-α）
=α；

（4）結(jié)論不成立，因為根據(jù)已知不能推出△BAE≌△CAD，即不能推出∠ABE=∠ACD．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出∠ABE=∠ACD，題目比較好，難度偏大．