Question

等邊三角形紙片ABC和C'D'E'的邊長分別為和2。

（1）如圖1，將△C'D'E'放在△ABC上，使得C'和C重合，且D'和E'分別AC在AC和BC上，固定△ABC，將△C'D'E'繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到△C'DE（如圖2），連接AD、BE，C'E的延長線交AB于F，試判斷線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖，若將△C'DE繼續(xù)移動，使其在線段CF上沿著CF的方向以每秒1個單位的速度平移，如圖3，設(shè)△C'DE移動的時間為x秒，△C'DE與△ABC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍。

Answer 1

解：（1）BE與AD的關(guān)系是相等，
證明：∵△ABC與△C'D'E'是等邊三角形，
∴DC=EC，AC=BC，∠ABC=∠DCE
∵∠ACF=∠ACF
∴∠DCA=∠ECB
∴在△ADC和△ECB中，
∴△ADC≌△ECB
∴BE=AD。
（2）∵∠BCF=30°
∴ ∠BCF=∠ACB=∠ACF
∴CF⊥AB于F
∵BC=
∴在Rt△BFC中，BF=
由勾股定理得CF=4，
∵C'E=2，且△C'DE平移的速度是1
∴0≤x≤2
∵∠DC'E=60°，∠ACF=30°，
∴∠CGC'=30°
∴∠ACF=∠CGC'
∴DG=2-x
又∵∠D=60°，∠DGH=30°，
∴∠DHG=90°
∴△DGH為直角三角形
∴DH=
∴S_△DGH=×DH×HG=
又∵S_△DC'E=
∴ y=S_△DC'E-S_△DGH=
∴。