Question

如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm半圓O以2cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D、E始終在直線BC上．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)t=0s時(shí)，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC=8cm．當(dāng)t為何值時(shí)，△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切？

Answer 1

分析：隨著半圓的運(yùn)動(dòng)分四種情況：①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AC與半圓相切，②當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，AB與半圓相切，③當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，AC再次與半圓相切，④當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，AB的延長(zhǎng)線與半圓所在的圓相切．分別求得半圓的圓心移動(dòng)的距離后，再求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：（1）①如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AC⊥OE，OC=OE=6cm，所以AC為半圓O所在的圓相切，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了2cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=

2

2

=1（s）
②如圖，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB，垂足為F．
在Rt△FOB中，∠FBO=30°，OB=12cm，則OF=6cm，即OF等于半圓O的半徑，所以AB與半圓O所在的圓相切．此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了8cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=

8

2

=4（s）
③如圖，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，AC⊥OD，OC=OD=6cm，所以AC與半圓O所在的圓相切．此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了14cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=

14

2

=7（s）．
④如圖，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的右側(cè)，且OB=12cm時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥AB，垂足為Q．在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，則OQ=6cm，即OQ等于半圓O所在的圓的半徑，
所以直線AB與半圓O所在的圓相切．此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了32cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=

32

2

=16（s）

點(diǎn)評(píng)：考查直線與圓的位置關(guān)系，本題利用了直線與圓相切的概念，能夠?qū)⒏鞣N情況都考慮全是解題的關(guān)鍵．