Question

AB是⊙O的直徑，P為AB延長線上一點(diǎn)，PD與⊙O相切于點(diǎn)D，C在⊙O上，且PC=PD．
（1）判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你判斷．
（2）過A點(diǎn)作AE⊥PC于E，連接BC，若AE=4，⊙O的半徑為3，求cos∠APE的值．

Answer 1

解：（1）PC與⊙O相切．
證明：連接OC，OD，
∵PC=PD，OC=OD，OP=OP，
∵△OCP≌△ODP，
∴∠OCP=∠ODP，
又∵PD是⊙O的切線，
∴∠ODP=90°，
∴∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切線；

（2）連接AC，AE∥OC，AE交⊙O于F，
∵∠EAC=∠OCA=∠CAB，又∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC，
∴CA：AB=AE：AC，AC²=AB•AE=6×4=24，
EC²=AC²-AE²=8，EC=，
設(shè)AE交⊙O于點(diǎn)F，連BF，則BF=2CE=，cos∠APE=cos∠ABF==．
分析：（1）連接OC、OD，由于PC=PD，OC=OD，OP=OP，利用SSS可證△OCP≌△ODP，于是∠OCP=∠ODP，而DP是⊙O的切線，那么∠ODP=90°，從而有∠OCP=90°，因此PC是⊙O的切線；
（2）連接AC，易證AE∥OC，那么∠EAC=∠OCA=∠CAB，又由于∠AEC=∠ACB=90°，利用AA可證△ACE∽△ABC，可得比例線段，CA：AB=AE：AC，即AC²=24，于是EC²=8，即EC=2，設(shè)AE交⊙O于點(diǎn)F，連BF，則BF=2CE=，易求cos∠APE=cos∠ABF==．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)值、平行線的性質(zhì)．