Question

如圖，直線AC分別交x軸y軸于點A（8，0）、C，拋物線 y=-

1

4

x²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A，B兩點；且OB=OC=

1

2

OA，一條與y軸重合的直線l以每秒2個單位長度的速度向右平移，交拋物線于點P，連接PB、設(shè)直線l移動的時間為t秒，
（1）求拋物線解析式；
（2）當0＜t＜4時，求四邊形PBCA的面積S（面積單位）與t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并求出四邊形PBCA的最大面積；
（3）在直線l的移動過程中，直線AC上是否存在一點Q，使得P、Q、B、A四點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由點A（8，0）得出OA=8，再由OB=

1

2

OA=4，確定點B的坐標，然后將A、B兩點的坐標代入y=-

1

4

x²+bx+c，即可求出拋物線解析式；
（2）連接OP，則S_{四邊形PBCA}=S_△BOP+S_△AOP+S_△AOC，再由函數(shù)的性質(zhì)可求得S的最大值；
（3）分兩種情況討論：①以BP為平行四邊形的一邊；②以BP為平行四邊形的對角線．

解答：解：（1）∵點A（8，0），
∴OA=8，
∴OB=OC=

1

2

OA=4，
∴B的坐標為（0，4），
將A、B兩點的坐標代入y=-

1

4

x²+bx+c，
得

- 1 4 ×64+8b+c=0 c=4

，
解得

b= 3 2 c=4

．
∴拋物線解析式為y=-

1

4

x²+

3

2

x+4；

（2）當0＜t＜4時，點P在第一象限，設(shè)P（2t，y），
把x=2t代入y=-

1

4

x²+

3

2

x+4，得y=-t²+3t+4，
所以P（2t，-t²+3t+4）．
如圖，連接OP．
則S_{四邊形PBCA}=S_△BOP+S_△AOP+S_△AOC
=

1

2

×4×2t+

1

2

×8×（-t²+3t+4）+

1

2

×4×8
=-4t²+16t+32（ 0＜t＜4）．
∵-4t²+16t+32=-4（t²-4t）+32=-4（t-2）²+48，
∴當t=2時，四邊形PBCA的面積最大，最大面積為48；

（3）①如圖，以BP為平行四邊形的一邊時，BP∥AQ，BP=AQ．
∵A（8，0），C（0，-4），
∴直線AC的解析式為y=

1

2

x-4，
設(shè)直線BP的解析式為y=

1

2

x+m，將B（0，4）代入，
解得m=4，
即直線BP的解析式為y=

1

2

x+4．
解方程組

y= 1 2 x+4 y=- 1 4 x2+ 3 2 x+4

，
解得

x=4 y=6

，
∴P（4，6），
∵B（0，4），BP∥AQ，BP=AQ，
∴Q₁（4，-2），Q₂（12，2）；
②如圖，當以BP為平行四邊形的對角線時，
AB∥PQ，AB=PQ．設(shè)P（x，y），可得Q（x-8，y+4），
點Q在直線AC上，y_AC=

1

2

x-4，
把Q（x-8，y+4）代入 y_AC=

1

2

x-4，解得：y=

1

2

x-12，
又∵y=-

1

4

x²+

3

2

x+4，
∴-

1

4

x²+

3

2

x+4=

1

2

x-12，
解得x₁=2

17

+2，x₂=2-2

17

（不合題意，舍去）．
∴Q₃（2

17

-6，

17

-7）．
綜上所述：P、Q、B、A四點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時，點Q的坐標為：Q₁（4，-2），Q₂（12，2），Q₃（2

17

-6，

17

-7）．

點評：此題主要考查的是函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標的求法、圖形面積的解法以及平行四邊形的判定，有一定難度．