解:(1)∵點(diǎn)A(8,0),
∴OA=8,
∴OB=OC=
OA=4,
∴B的坐標(biāo)為(0,4),
將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-
x
2+bx+c,
得
,
解得
.
∴拋物線解析式為y=-
x
2+
x+4;
(2)當(dāng)0<t<4時,點(diǎn)P在第一象限,設(shè)P(2t,y),
把x=2t代入y=-
x
2+
x+4,得y=-t
2+3t+4,
所以P(2t,-t
2+3t+4).
如圖,連接OP.
則S
四邊形PBCA=S
△BOP+S
△AOP+S
△AOC=
×4×2t+
×8×(-t
2+3t+4)+
×4×8
=-4t
2+16t+32( 0<t<4).
∵-4t
2+16t+32=-4(t
2-4t)+32=-4(t-2)
2+48,
∴當(dāng)t=2時,四邊形PBCA的面積最大,最大面積為48;
(3)①如圖,以BP為平行四邊形的一邊時,BP∥AQ,BP=AQ.
∵A(8,0),C(0,-4),
∴直線AC的解析式為y=
x-4,
設(shè)直線BP的解析式為y=
x+m,將B(0,4)代入,
解得m=4,
即直線BP的解析式為y=
x+4.
解方程組
,
解得
,
∴P(4,6),
∵B(0,4),BP∥AQ,BP=AQ,
∴Q
1(4,-2),Q
2(12,2);
②如圖,當(dāng)以BP為平行四邊形的對角線時,
AB∥PQ,AB=PQ.設(shè)P(x,y),可得Q(x-8,y+4),
點(diǎn)Q在直線AC上,y
AC=
x-4,
把Q(x-8,y+4)代入 y
AC=
x-4,解得:y=
x-12,
又∵y=-
x
2+
x+4,
∴-
x
2+
x+4=
x-12,
解得x
1=2
+2,x
2=2-2
(不合題意,舍去).
∴Q
3(2
+2,
-7).
綜上所述:P、Q、B、A四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:Q
1(4,-2),Q
2(12,2),Q
3(2
+2,
-7).
分析:(1)先由點(diǎn)A(8,0)得出OA=8,再由OB=
OA=4,確定點(diǎn)B的坐標(biāo),然后將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-
x
2+bx+c,即可求出拋物線解析式;
(2)連接OP,則S
四邊形PBCA=S
△BOP+S
△AOP+S
△AOC,再由函數(shù)的性質(zhì)可求得S的最大值;
(3)分兩種情況討論:①以BP為平行四邊形的一邊;②以BP為平行四邊形的對角線.
點(diǎn)評:此題主要考查的是函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、圖形面積的解法以及平行四邊形的判定,有一定難度.