【題目】定義:有三個內(nèi)角相等的四邊形叫三等角四邊形.

(1)三等角四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C,求∠A的取值范圍;

(2)如圖,折疊平行四邊形紙片DEBF,使頂點E,F(xiàn)分別落在邊BE,BF上的點A,C處,折痕分別為DG,DH.求證:四邊形ABCD是三等角四邊形.

(3)三等角四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C,若CB=CD=4,則當(dāng)AD的長為何值時,AB的長最大,其最大值是多少?并求此時對角線AC的長.

【答案】(1)60°<∠A<120°;(2)證明見解析;(3)當(dāng)AD=2時,AB的長最大,最大值是5,此時AC=

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°,確定出∠A的范圍;

(2)由四邊形DEBF為平行四邊形,得到∠E=∠F,且∠E+∠EBF=180°,再根據(jù)等角的補角相等,判斷出∠DAB=∠DCB=∠ABC,即可;

(3)分三種情況分別討論計算AB的長,從而得出當(dāng)AD=2時,AB最長,最后計算出對角線AC的長.

試題解析:(1)∵∠A=∠B=∠C,∴3∠A+∠ADC=360°,∴∠ADC=360°﹣3∠A.

∵0<∠ADC<180°,∴0°<360°﹣3∠A<180°,∴60°<∠A<120°;

(2)證明:∵四邊形DEBF為平行四邊形,∴∠E=∠F,且∠E+∠EBF=180°.

∵DE=DA,DF=DC,∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF,∵∠DAE+∠DAB=180°,∠DCF+∠DCB=180°,∠E+∠EBF=180°,∴∠DAB=∠DCB=∠ABC,∴四邊形ABCD是三等角四邊形

(3)①當(dāng)60°<∠A<90°時,如圖1,過點D作DF∥AB,DE∥BC,∴四邊形BEDF是平行四邊形,∠DFC=∠B=∠DEA,∴EB=DF,DE=FB,∵∠A=∠B=∠C,∠DFC=∠B=∠DEA,∴△DAE∽△DCF,AD=DE,DC=DF=4,設(shè)AD=x,AB=y,∴AE=y﹣4,CF=4﹣x,∵△DAE∽△DCF,∴,∴,∴=,∴當(dāng)x=2時,y的最大值是5,即:當(dāng)AD=2時,AB的最大值為5

②當(dāng)∠A=90°時,三等角四邊形是正方形,∴AD=AB=CD=4;

③當(dāng)90°<∠A<120°時,∠D為銳角,如圖2,∵AE=4﹣AB>0,∴AB<4,綜上所述,當(dāng)AD=2時,AB的長最大,最大值是5;

此時,AE=1,如圖3,過點C作CM⊥AB于M,DN⊥AB,∵DA=DE,DN⊥AB,∴AN=AE=,∵∠DAN=∠CBM,∠DNA=∠CMB=90°,∴△DAN∽△CBM,∴,∴BM=1,∴AM=4,CM==,∴AC===

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