【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(2,﹣3),且與x軸交點坐標為(﹣1,0),(3,0)
(1)求拋物線的解析式;
(2)在直線AB下方拋物線上找一點D,求出使得△ABD面積最大時點D的坐標;
(3)點M在拋物線上,點N在拋物線的對稱軸上,是否存在以點A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有符合條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2-2x-3;(2)當D坐標為(,-)時,△ABD的面積最大;(3)存在,M點的坐標為(0,-3)、(4,5)、(-2,5).
【解析】
(1)把交點坐標為(2,-3),(-1,0),(3,0)代入二次函數(shù)的表達式,即可求解;
(2)如圖,過D點做DF⊥x軸于F,交AB于E,設(shè)出D,E點坐標,根據(jù)S△ABD=DE×(xA-xB)即可求解;
(3)分情況進行討論,當AB是為平行四邊形的邊長時,如圖所示,M1、M2為所求點;當AB為平行四邊形的對角線時,M3與點C重合,即可求解.
(1)把交點坐標為(2,-3),(-1,0),(3,0)代入二次函數(shù)的表達式得,
,
解得:a=1,b=-2,c=﹣3,
故二次函數(shù)的表達式為:y=x2-2x-3;
(2)如圖,過D點做DF⊥x軸于F,交AB于E,
把A(2,-3),B(-1,0)代入一次函數(shù)表達式得直線AB的方程為:y=-x-1,
設(shè):D(m,m2-2m-3),E(m,-m-1),
∴DE=-m-1-(m2-2m-3)=-m2+m+2,
S△ABD=DE×(xA-xB)=-(m-)2+,
∴當D坐標為(,-)時,△ABD的面積最大;
(3)當AB是為平行四邊形的邊長時,
①如圖,
∵四邊形ANM1B為平行四邊形,
∴△ANH≌△BM1G,
則M1的橫坐標為:-2,代入二次函數(shù)表達式,
解得:M1坐標為(-2,5);
②如圖,
∵四邊形ANM2B為平行四邊形,
∴△ABG≌△NHM2,
則M2的橫坐標為:4,代入二次函數(shù)表達式,
解得:M2坐標為(4,5);
當AB時平行四邊形的對角線時,如下圖所示,
M3與點C重合,
故M3(0,-3);
故M點的坐標為:(0,-3)、(4,5)、(-2,5).
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【題目】某商場將每件進價為80元的A商品按每件100元出售,一天可售出128件.經(jīng)過市場調(diào)查,發(fā)現(xiàn)這種商品的銷售單價每降低1元,其日銷量可增加8件.設(shè)該商品每件降價x元,商場一天可通過A商品獲利潤y元.
(1)求y與x之間的函數(shù)解析式(不必寫出自變量x的取值范圍)
(2)A商品銷售單價為多少時,該商場每天通過A商品所獲的利潤最大?
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【題目】點I為△ABC的內(nèi)心,連AI交△ABC的外接圓于點D,若AI=2CD,點E為弦AC的中點,連接EI,IC,若IC=6,ID=5,則IE的長為_____.
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【題目】假定甲、乙兩人在一次賽跑中,路程S與時間T的關(guān)系在平面直角坐標系中如圖所示,請結(jié)合圖形和數(shù)據(jù)回答問題:
(1)這是一次 米賽跑;
(2)甲、乙兩人中先到達終點的是 ;
(3)乙在這次賽跑中的速度為 ;
(4)甲到達終點時,乙離終點還有 米.
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【題目】元旦期間,某超市銷售兩種不同品牌的蘋果,已知1千克甲種蘋果和1千克乙種蘋果的進價之和為18元.當銷售1千克甲種蘋果和1千克乙種蘋果利潤分別為4元和2元時,陳老師購買3千克甲種蘋果和4千克乙種蘋果共用82元.
(1)求甲、乙兩種蘋果的進價分別是每千克多少元?
(2)在(1)的情況下,超市平均每天可售出甲種蘋果100千克和乙種蘋果140千克,若將這兩種蘋果的售價各提高1元,則超市每天這兩種蘋果均少售出10千克,超市決定把這兩種蘋果的售價提高x元,在不考慮其他因素的條件下,使超市銷售這兩種蘋果共獲利960元,求x的值.
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【題目】已知:如圖,在平行四邊形中,分別為邊的中點,連接,作交的延長線于.
(1)求證:;
(2)若四邊形是矩形,則四邊形是什么特殊四邊形?證明你的結(jié)論.
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【題目】某地下車庫出口處安裝了“兩段式欄桿”,如圖1所示,點A是欄桿轉(zhuǎn)動的支點,點E是欄桿兩段的聯(lián)結(jié)點.當車輛經(jīng)過時,欄桿AEF最多只能升起到如圖2所示的位置,其示意圖如圖3所示(欄桿寬度忽略不計),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2米,那么適合該地下車庫的車輛限高標志牌為( )(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
A. B. C. D.
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【題目】孔明同學對本校學生會組織的“為貧困山區(qū)獻愛心”自愿捐款活動進行抽樣調(diào)查,得到了一組學生捐款情況的數(shù)據(jù).如圖是根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計圖,圖中從左到右各長方形的高度之比為3:4:5:10:8,又知此次調(diào)查中捐款30元的學生一共16人.
(1)孔明同學調(diào)查的這組學生共有_______人;
(2)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是_____元,中位數(shù)是_____元;
(3)若該校有2000名學生,都進行了捐款,估計全校學生共捐款多少元?
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