Question

如圖，圓心角120°的扇形OMN，繞著正六邊形ABCDEF的中心O旋轉(zhuǎn)，OM交AB于H，ON交CD于K，OM＞OA．
（1）證明：△AOH≌△COK；
（2）若AB=2，求正六邊形ABCDEF與扇形OMN重疊部分的面積．

Answer 1

考點：正多邊形和圓,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用正六邊形的性質(zhì)得出△OBC，△OAB都是等邊三角形，進而得出AO=CO，∠1=∠2，∠3=∠4=60°，即可得出全等三角形；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)以及正六邊形性質(zhì)得出正六邊形ABCDEF與扇形OMN重疊部分的面積為：S_△AOB+S_△OBC=2S_OBC進而得出答案．

解答：（1）證明：∵圓心角120°的扇形OMN，繞著正六邊形ABCDEF的中心O旋轉(zhuǎn)，
∴△OBC，△OAB都是等邊三角形，
∴AO=CO，∠1=∠2，∠3=∠4=60°，
在△AOH和△COK中

∠1=∠2 OA=OC ∠3=∠4

，
∴△AOH≌△COK（ASA）；

（2）解：過點O作OG⊥BC于點G，
∵△OBC是等邊三角形，
∴BG=CG=1，CO=2，
∴OG=

3

，
∵△AOH≌△COK，
∴S_△AOH=S_△COK，
∴正六邊形ABCDEF與扇形OMN重疊部分的面積為：
S_△AOB+S_△OBC=2S_OBC=2×

1

2

×2×

3

=2

3

．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正六邊形的性質(zhì)，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出對應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．