Question

如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，若AC=FC．

（1）求證：AC是⊙O的切線：

（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半徑r．

Answer 1

考點(diǎn)：

切線的判定．

分析：

（1）連接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）OD=r，OF=8﹣r，在Rt△DOF中根據(jù)勾股定理得出方程r²+（8﹣r）²=（）²，求出即可．

解答：

（1）證明：

連接OA、OD，

∵D為弧BE的中點(diǎn)，

∴OD⊥BC，

∠DOF=90°，

∴∠D+∠OFD=90°，

∵AC=AF，OA=OD，

∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，

∵∠CFA=∠OFD，

∴∠OAD+∠CAF=90°，

∴OA⊥AC，

∵OA為半徑，

∴AC是⊙O切線；

（2）解：∵⊙O半徑是r，

當(dāng)F在半徑OE上時(shí)，

∴OD=r，OF=8﹣r，

在Rt△DOF中，r²+（8﹣r）²=（）²，

r=，r=（舍去）；

當(dāng)F在半徑OB上時(shí)，

∴OD=r，OF=r﹣8，

在Rt△DOF中，r²+（r﹣8）²=（）²，

r=，r=（舍去）；

即⊙O的半徑r為．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算的能力．