Question

如圖，已知：拋物線y=x²+bx-3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，并且OA=OC．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)C作CE∥x軸，交拋物線于點(diǎn)E，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，試判斷△CDE的形狀，并說明理由；
（3）設(shè)點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸l上，且△MCD的面積等于△CDE的面積，請(qǐng)寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)（無需寫出解題步驟）．

Answer 1

分析：（1）首先拋物線y=x²+bx-3與y軸相交于點(diǎn)C，求得C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3）．再根據(jù)OA=OC及圖象求得A點(diǎn)的坐標(biāo)值．再將A點(diǎn)的坐標(biāo)值代入拋物線y=x²+bx-3，求得b的值，那么這條拋物線的解析式即可確定．
（2）要判斷△CDE的形狀，首先要得到線段ED、CD、EC的長．因而必須求得點(diǎn)E、D、C的坐標(biāo)值．再根據(jù)CE∥x軸，即可知E點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式求得E點(diǎn)的橫坐標(biāo)．求D點(diǎn)將拋物線寫為頂點(diǎn)式，即可確定．
（3）由（2）知△CDE是等腰直角三角形，因而點(diǎn)M到直線CD的距離等于ED的長，則MD=

2

ED，點(diǎn)D的坐標(biāo)值為定值，因而點(diǎn)M的坐標(biāo)值也就確定．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，得y=-3，
∴C（0，-3），
∵OA=OC，
∴OA=3，即得A（-3，0）．（1分）
由點(diǎn)A在拋物線y=x²+bx-3上，
得9-3b-3=0．解得b=2．（1分）
∴所求拋物線的解析式是y=x²+2x-3．（1分）

（2）由CE∥x軸，C（0，-3），可設(shè)點(diǎn)E（m，-3）．
由點(diǎn)E在拋物線y=x²+2x-3上，
得m²+2m-3=-3．
解得m₁=-2，m₂=0．
∴E（-2，-3）．（1分）
又∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴頂點(diǎn)D（-1，-4）．（1分）
∵CD=

(-1-0)2+(-4+3)2

=

2

，ED=

(-1+2)2+(-4+3)2

=

2

，
CE=2，
∴CD=ED，且CD²+ED²=CE²．
∴△CDE是等腰直角三角形．（3分）

（3）M₁（-1，-2），M₂（-1，-6）．（（3分），其中只寫出一個(gè)得2分）

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意這個(gè)特殊的等腰直角三角形CDE、△MCD邊與坐標(biāo)間的關(guān)系．