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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A為圓心,任意長為半徑畫弧分別交AB,AC于點M和N,再分別以M,N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,連結AP并延長交BC于點D,則下列說法中正確的個數是( )

①AD平分∠BAC;②作圖依據是S.A.S;③∠ADC=60°; ④點D在AB的垂直平分線上

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

【答案】C

【解析】①根據作圖的過程可以判定AD是∠BAC的∠平分線;

②根據作圖的過程可以判定出AD的依據;

③利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°,則由直角三角形的性質求∠ADC的度數;

④利用等角對等邊可以證得△ADB的等腰三角形,由等腰三角形的“三合一”的性質可以證明點在AB的中垂線上.

解:如圖所示,

①根據作圖的過程可知,AD是∠BAC的∠平分線;

故①正確;

②根據作圖的過程可知,作出AD的依據是SSS;

故②錯誤;

③∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,

∴∠CBA=60°.

又∵AD是∠BAC的平分線,

∴∠1=∠2=∠CAB=30°,

∴∠3=90°-∠2=60°,即∠ADC=60°.

故③正確;

④∵∠1=∠B=30°,

∴AD=BD,

∴點D在AB的中垂線上.

故④正確;

故選C.

“點睛”此題主要考查的是作圖-基本作圖,涉及到角平分線的作法以及垂直平分線的性質,熟練根據角平分線的性質得出∠ADC的度數是解題的關鍵.

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