Question

（2010•豐臺(tái)區(qū)一模）直線CD經(jīng)過∠BCA的頂點(diǎn)C，CA=CB．E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題：
①如圖1，若∠BCA=90°，∠α=90°，則EF______|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”號(hào)）；
②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的結(jié)論仍然成立，則∠α與∠BCA應(yīng)滿足的關(guān)系是______；
（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請(qǐng)?zhí)骄縀F、與BE、AF三條線段的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF，EC=AF；又因?yàn)镋F=CF-CE，所以EF=|BE-AF|；
②只有滿足△BEC≌△CDA，才有①中的結(jié)論，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形內(nèi)角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠α+∠BCA=180°．
（2）只要通過條件證明△BEC≌△CFA（可通過ASA證得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF．
解答：解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CBE=∠ACD，
在△BEC與△CDA中，
∵，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，EC=FA，
∵EF=CF-CE，
∴EF=|BE-AF|；
②∠α與∠BCA應(yīng)滿足的關(guān)系是∠α+∠BCA=180°，理由為：
∵∠α+∠BCA=180°，
∴∠α+∠BCE+∠FCA=180°，
∵∠α+∠BCE+∠CBE=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），
∴∠CBE=∠ACD，
又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，EC=FA，
∵EF=CF-CE，
∴EF=|BE-AF|；
則∠α與∠BCA應(yīng)滿足的關(guān)系是∠α+∠BCA=180°；

（2）探究結(jié)論：EF=BE+AF，
證明：∵∠1+∠2+∠BCA=180°，∠2+∠3+∠CFA=180°
又∵∠BCA=∠α=∠CFA，
∴∠1=∠3；
又∵∠BEC=∠CFA=∠α，CB=CA，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，EC=FA，
∴EF=EC+CF=BE+AF．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形全等的判定，涉及到三角形內(nèi)角和定理，線段比較長(zhǎng)短等知識(shí)點(diǎn)．同學(xué)們要仔細(xì)閱讀題意方能解題，屬于一道較復(fù)雜的基礎(chǔ)題．