【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接DC,點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點.
(1)觀察猜想
圖1中,線段PM與PN的數(shù)量關系是 ,位置關系是 ;
(2)探究證明
把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置,連接MN,BD,CE,判斷△PMN的形狀,并說明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉,若AD=4,AB=10,請直接寫出△PMN面積的最大值.
【答案】(1)PM=PN,PM⊥PN;(2)△PMN是等腰直角三角形;(3).
【解析】試題分析:(1)利用三角形的中位線得出PM=CE,PN=BD,進而判斷出BD=CE,即可得出結論,再利用三角形的中位線得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA,最后用互余即可得出結論;
(2)先判斷出△ABD≌△ACE,得出BD=CE,同(1)的方法得出PM=BD,PN=BD,即可得出PM=PN,同(1)的方法即可得出結論;
(3)先判斷出MN最大時,△PMN的面積最大,進而求出AN,AM,即可得出MN最大=AM+AN,最后用面積公式即可得出結論.
試題解析:(1)∵點P,N是BC,CD的中點,
∴PN∥BD,PN=BD,
∵點P,M是CD,DE的中點,
∴PM∥CE,PM=CE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE,
∴PM=PN,
∵PN∥BD,
∴∠DPN=∠ADC,
∵PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCA,
∵∠BAC=90°,
∴∠ADC+∠ACD=90°,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,
∴PM⊥PN,
故答案為:PM=PN,PM⊥PN,
(2)由旋轉知,∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,
同(1)的方法,利用三角形的中位線得,PN=BD,PM=CE,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形,
同(1)的方法得,PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCE,
同(1)的方法得,PN∥BD,
∴∠PNC=∠DBC,
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,
∵∠BAC=90°,
∴∠ACB+∠ABC=90°,
∴∠MPN=90°,
∴△PMN是等腰直角三角形,
(3)如圖2,同(2)的方法得,△PMN是等腰直角三角形,
∴MN最大時,△PMN的面積最大,
∴DE∥BC且DE在頂點A上面,
∴MN最大=AM+AN,
連接AM,AN,
在△ADE中,AD=AE=4,∠DAE=90°,
∴AM=2,
在Rt△ABC中,AB=AC=10,AN=5,
∴MN最大=2+5=7,
∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×(7)2= .
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【題目】如圖,已知正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點P(2,3),點D是正比例函數(shù)圖象上的一點,過點D作y軸的垂線,垂足分別Q,DQ交反比例函數(shù)的圖象于點A,過點A作x軸的垂線,垂足為B,AB交正比例函數(shù)的圖于點E.
(1)求正比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)解析式.
(2)當點D的縱坐標為9時,求:點E的坐標.
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【題目】如圖,在矩形OABC中,點A在x軸上,點C在y軸上,點B的坐標是,將沿直線BD折疊,使得點C落在對角線OB上的點E處,折痕與OC交于點D.
(1)求直線OB的解析式及線段OE的長.
(2)求直線BD的解析式及點E的坐標.
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【題目】用“☆”定義一種新運算:對于任意有理數(shù)a和b,規(guī)定a☆b=.例如:☆2=.從-50,-40,-30,-20,-10,0,10,20,30,40,50中任選兩個有理數(shù)做a,b(a≠b)的值,并計算a☆b,那么所有運算結果中的最大值是_________ .最小值是__________.
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【題目】如圖,AB是長為10m,傾斜角為37°的自動扶梯,平臺BD與大樓CE垂直,且與扶梯AB的長度相等,在B處測得大樓頂部C的仰角為65°,求大樓CE的高度(結果保留整數(shù)).
(參考數(shù)據(jù):sin37°≈,tan37°≈,sin65°≈,tan65°≈)
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【題目】如圖,⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=,點D在線段BC上運動(不與點B、C重合),連接AD,作∠1=∠C,DE交線段AC于點E.
(1)若∠BAD=,求∠EDC的度數(shù);
(2)當DC=AC時,求證:⊿ABD≌⊿DCE ;
(3)當∠BAD的度數(shù)是多少時,⊿ADE能成為等腰三角形.
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【題目】如圖是一個多邊形,你能否用一直線去截這個多邊形,使得到的新多邊形分別滿足下列條件:畫出圖形,把截去的部分打上陰影
新多邊形內(nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和增加了.
新多邊形的內(nèi)角和與原多邊形的內(nèi)角和相等.
新多邊形的內(nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和減少了.
將多邊形只截去一個角,截后形成的多邊形的內(nèi)角和為,求原多邊形的邊數(shù).
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【題目】學校準備從甲乙兩位選手中選擇一位選手代表學校參加所在地區(qū)的漢字聽寫大賽,學校對兩位選手從表達能力、閱讀理解、綜合素質和漢字聽寫四個方面做了測試,他們各自的成績(百分制)如表:
選手 | 表達能力 | 閱讀理解 | 綜合素質 | 漢字聽寫 |
甲 | 85 | 78 | 85 | 73 |
乙 | 73 | 80 | 82 | 83 |
(1)由表中成績已算得甲的平均成績?yōu)?/span>80.25,請計算乙的平均成績,從他們的這一成績看,應選派誰;
(2)如果表達能力、閱讀理解、綜合素質和漢字聽寫分別賦予它們2、1、3和4的權,請分別計算兩名選手的平均成績,從他們的這一成績看,應選派誰.
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【題目】養(yǎng)成良好的早鍛煉習慣,對學生的學習和生活非常有益某中學為了了解七年級學生的早鍛煉情況,校政教處在七年級隨機抽取了部分學生,并對這些學生通常情況下一天的早鍛煉時間分鐘進行了調(diào)查現(xiàn)把調(diào)查結果分為A,B,C,D四組,如下表所示;同時,將調(diào)查結果繪制成下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
組別 | 早鍛煉時間 |
A | |
B | |
C | |
D |
請根據(jù)以上提供的信息,解答下列問題:
扇形統(tǒng)計圖中D所在扇形的圓心角度數(shù)為______;
補全頻數(shù)分布直方圖;
已知該校七年級共有1200名學生,請你估計這個年級學生中有多少人一天早鍛煉的時間不少于20分鐘.
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