如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,A與B的坐標(biāo)分別為(-4,0),(2,0),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)D為已知拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn),當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)若直線l過點(diǎn)E(4,0),M為直線l上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí),求直線l的解析式.
考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題
專題:
分析:(1)把A,B的坐標(biāo)(-4,0),(2,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c求解即可,
(2)先求出拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1,設(shè)直線AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為E,易求直線AC的解析式為y=
3
4
x+3,由x=-1時(shí),求出y的值,由AB=2-(-4)=6,OC=3,由△ACB的面積=
1
2
×6×3=9,可得△ACD的面積=
1
2
DE•4=9,可得DE的值,分兩種情況①點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方時(shí),②點(diǎn)D在點(diǎn)E的下方時(shí),分別求解即可.
(3)過A,B分別作x軸的垂線,這兩條直線總是與直線l有交點(diǎn),即兩個(gè)點(diǎn)M,再以AB為直徑的⊙G如果與直線l相切,就只有一個(gè)點(diǎn)M,連接GM,那么GM⊥l,在RT△EGM中,求出GM,GE的值,可得EM的值,在RT△EM1A中,由AE的值,結(jié)合tan∠M1EA=
M1A
AE
=
3
4
,可得M1A的值,由點(diǎn)M1的坐標(biāo)可得過M1,E的直線l,再根據(jù)對(duì)稱性直線l求出另一條直線.
解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為:y=ax2+bx+c,把A,B的坐標(biāo)(-4,0),(2,0),C(0,3)代入得
0=16a-4b+c
0=4a+2b+c
3=c
,解得
a=-
3
8
b=-
3
4
c=3
,
所以拋物線的解析式為:y=-
3
8
x2-
3
4
x+3.
(2)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-
-
3
4
2×(-
3
8
)
=-1,
設(shè)直線AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為E,易求直線AC的解析式為y=
3
4
x+3,
x=-1時(shí),y=-
3
4
x+3=
9
4
,
AB=2-(-4)=6,OC=3,
△ACB的面積=
1
2
×6×3=9,
△ACD的面積=
1
2
DE•4=9,
解得DE=
9
2

點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方時(shí),點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為
9
4
+
9
2
=
27
4

點(diǎn)D在點(diǎn)E的下方時(shí),點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為
9
4
-
9
2
=-
9
4
,
所以,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,
27
4
)或(-1,-
9
4
).
(3)如圖,過A,B分別作x軸的垂線,這兩條直線總是與直線l有交點(diǎn),即兩個(gè)點(diǎn)M1和M2,以AB為直徑的⊙G如果與直線l相切,就只有一個(gè)點(diǎn)M,連接GM,那么GM⊥l,

∵在RT△EGM中,GM=3,GE=5,
∴EM=4,
在RT△EM1A中,
∵AE=8,tan∠M1EA=
M1A
AE
=
3
4

∴M1A=6,
∴點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(-4,6),過M1,E的直線l為y=-
3
4
x+3,
根據(jù)對(duì)稱性直線l還可以是y=
3
4
x+3.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用,解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題,善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí).
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1
32
)(1-
1
42
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1
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1
20042
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5
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1
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1
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1002
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;(3)
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;(4)
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-
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