Question

如圖所示，在△ABC中，DE、MN是邊AB、AC的垂直平分線，其垂足分別為D、M，分別交BC于E、N，且DE和MN交于點F．
（1）若∠B=20°求∠BAE的度數(shù)，
（2）若∠EAN=40，求∠F的度數(shù)，
（3）若AB=8，AC=9，求△AEN周長的范圍．

Answer 1

分析：（1）由DE是邊AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得AE=BE，又由等邊對等角，即可求得∠BAE的度數(shù)；
（2）由DE、MN是邊AB、AC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE=BE，AN=CN，又由等邊對等角，即可得∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，然后由三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠BAE+∠CAN=70°，然后由四邊形的內(nèi)角和等于360°，求得∠F的度數(shù)；
（3）由AE=BE，AN=CN，即可得△AEN周長等于BC的長，又由三角形三邊關(guān)系即可求得△AEN周長的范圍．

解答：解：（1）∵DE是邊AB的垂直平分線，
∴AE=BE，
∵∠B=20°，
∴∠BAE=∠B=20°；

（2）∵DE、MN是邊AB、AC的垂直平分線，
∴AE=BE，AN=CN，
∴∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，
∵∠EAN=40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C=180°，
∴∠BAE+∠CAN=70°，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAN+∠EAN=110°，
∵∠ADF=∠AMF=90°，
∴∠F=360°-∠ADF-∠AMF-∠BAC=360°-90°-90°-110°=70°；

（3）∵DE、MN是邊AB、AC的垂直平分線，
∴AE=BE，AN=CN，
∴BC=BE+EN+CN=AE+EN+AN，
∵AB=8，AC=9，
∴1＜BC＜17，
∴△AEN周長的范圍為：1＜AE+EN+AN＜17．

點評：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、四邊形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．