Question

已知，△ABC內(nèi)接于半徑為5的⊙O，AD平分∠BAC，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D．
（1）過(guò)點(diǎn)D作MN∥BC，求證：MN是圓O的切線(xiàn)；
（2）求證：AB•AC=AD•AE．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）連接OD，根據(jù)角平分線(xiàn)求出∠BAD=∠CAD，推出弧BD=弧CD，根據(jù)垂徑定理求出OD⊥BC，推出OD⊥MN，根據(jù)切線(xiàn)的判定推出即可；
（2）求出△ABD∽△AEC，得出比例式，即可得出答案．

解答：證明：（1）
連接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴弧BD=弧CD，
∵OD過(guò)O，
∴OD⊥BC，
∵M(jìn)N∥BC，
∴OD⊥MN，
∴MN是圓O的切線(xiàn)；

（2）連接BD，
∵∠BAD=∠CAE，∠BDA=∠ACE，
∴△ABD∽△AEC，
∴

AB

AE

=

AD

AC

，
∴AB•AC=AD•AE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定，平行線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目綜合性比較強(qiáng)，難度比較大．