Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4cm，動(dòng)點(diǎn)P從A向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從B向C運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)的速度均是1cm/s．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）設(shè)△BPQ的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量t的取值范圍；
（2）若點(diǎn)R是AC的中點(diǎn)，連接PR、QR，試判斷動(dòng)點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PQR的面積是否發(fā)生變化？若不變化，求出△PQR面積的大小；若變化，求出其變化過(guò)程中的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）由于△BPQ為直角三角形，先用含t的代數(shù)式分別表示BQ與BP，再根據(jù)S=

1

2

BP•BQ即可求解；
（2）根據(jù)S_△BPQ=S_△ABC-S_△BPQ-S_△APR-S_△CQR求出△PQR面積關(guān)于t的二次函數(shù)關(guān)系式，再配方得到△PQR面積變化過(guò)程中的最大值與最小值．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，BP=AB-AP=4-t，BQ=t，
∴S_△BPQ=

1

2

×BP×BQ=

1

2

（4-t）t=-

1

2

t²+2t（0≤t≤4）；

（2）△PQR的面積在變化：
S_△BQR=S_△ABC-S_△BPQ-S_△APR-S_△CQR
=

1

2

×4×4-（-

1

2

t²+2t）-

1

2

t×2

2

×

2

2

-

1

2

（4-t）×2

2

×

2

2

=8+

1

2

t²-2t-t-4+t
=

1

2

t²-2t+4
=

1

2

（t-2）²+2，
∵

1

2

＞0且0≤t≤4，
∴當(dāng)t=2時(shí)，△PQR面積的最小值是2；
當(dāng)t=0或4時(shí)，△PQR面積的最大值是4．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，涉及了三角形面積的計(jì)算，配方法的應(yīng)用，極值問(wèn)題，其中（2）的關(guān)鍵是得到關(guān)于t的二次函數(shù)關(guān)系式．