Question

1．如圖，在梯形紙片ABCD中，AD∥BC，AD=AB=4，BD=CD，∠C=30°，E為BC邊上一點，以BE為直角邊，E為直角頂點作等腰Rt△BEF，使等腰Rt△BEF和梯形ABCD在BC的同側(cè)．
（1）當?shù)妊黂t△BEF的頂點F恰好落在線段AD上時，求BE的長；
（2）將（1）問中的等腰Rt△BEF沿BC向右以1個單位每秒平移，記平移中的Rt△BEF為△B′EF，當點E與點C重合時停止平移．設(shè)平移的時間為t，等腰Rt△B′EF的邊EF與線段BD交于點M，將△B′FM沿BD折疊，F(xiàn)點的對應(yīng)點為F′，是否存在這樣的t，使△F′EM是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（3）平移過程中，設(shè)等腰直角三角形與△BCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作輔助線構(gòu)建直角三角形，可得∠ADB=30°，設(shè)BE=x，依次把EF、DG、BD、DC表示出來，利用30°角直角三角形所對的直角邊是斜邊的一半得AH的長，利用勾股定理求DH，從而求出BD的長，列式計算即可；
（2）不存在，如圖2，可求得∠EMF′=60°，是一個定值，因此如果△EMF′中任意兩邊相等時，它都為等邊三角形，列式求得t為負數(shù)，不符合題意，所以不存在；
（3）分兩種情況：①當0≤t＜6-2$\sqrt{3}$時，重疊部分的面積為四邊形面積，利用差來求；②當6-2$\sqrt{3}$≤t≤12-2$\sqrt{3}$時，如圖4，重疊部分的圖形為四邊形MB′EN，利用兩三角形的面積差求．

解答 解：（1）如圖1，設(shè)BE=x，
∵△BEF為等腰直角三角形，
∴EF=BE=x，
過D作DG⊥BC于G，過A作AH⊥BD于H，則DG=x，DC=BC=2x，
∵DC=BC，
∴∠DBC=∠C=30°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=30°，
在Rt△AHD中，AD=4，則AH=2，DH=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2DH=4$\sqrt{3}$，
則2x=4$\sqrt{3}$，x=2$\sqrt{3}$，
∴BE=2$\sqrt{3}$；
（2）不存在，如圖2，理由是：
∵∠ADB=30°，
∴∠FMD=60°，
∵F與F′關(guān)于BD對稱，
∴∠DMF′=∠FMD=60°，
∴∠EMF′=60°，
則△EMF′中任意兩邊相等時，它都為等邊三角形；
設(shè)BM=x，則FM=F′M=2$\sqrt{3}$-x，
∴x=2$\sqrt{3}$-x，x=$\sqrt{3}$，
在Rt△BEM中，∠DBC=30°，
∴BE=3，
∴t=3-2$\sqrt{3}$＜0，不符合題意；
∴不存在這樣的t，使△F′EM是等腰三角形；
（3）①當0≤t＜6-2$\sqrt{3}$時，如圖3，過M作MN⊥BC于N，
設(shè)MN=x，則B′N=MN=x，
tan30°=$\frac{MN}{BN}$=$\frac{x}{x+t}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
x=$\frac{（\sqrt{3}+1）t}{2}$，即MN=$\frac{（\sqrt{3}+1）t}{2}$，
tan30°=$\frac{EG}{BE}$=$\frac{EG}{2\sqrt{3}+t}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴EG=2+$\frac{\sqrt{3}t}{3}$，
∴S=S_△BGE-S_△BB′M=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{3}$+t）（2+$\frac{\sqrt{3}t}{3}$）-$\frac{1}{2}$t•$\frac{（\sqrt{3}+1）t}{2}$，
S=$\frac{（-3-\sqrt{3}）{t}^{2}}{12}$+2t+2$\sqrt{3}$；
②當6-2$\sqrt{3}$≤t≤12-2$\sqrt{3}$時，如圖4，重疊部分的圖形為四邊形MB′EN，
設(shè)GN=x，則FG=$\sqrt{3}x$，EC=12-t-2$\sqrt{3}$，
cos30°=$\frac{EN}{EC}$，
∴EN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（12-t-2$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}t}{3}$-2，
∴EF=FN+EN，
2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$x+x+4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}t}{3}$-2，
x=$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$t-4，
則S=S_△B′EF-S_△MNF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×$2\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}+1）$x$•\sqrt{3}$x=6-$\frac{1}{2}$（3+$\sqrt{3}$）（$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$t-4）²．

點評 本題是四邊形的綜合題，計算量較大；考查了梯形、等腰直角三角形的性質(zhì)，考查了30°的直角三角形的特殊性質(zhì)，這一性質(zhì)應(yīng)用較多，要熟練掌握；對于重疊部分的面積要根據(jù)圖形特點分類討論并利用面積公式代入求解．