Question

如圖，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；
（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)AP為何值時(shí)，四邊形PMEN是菱形；
（3）四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理可證明．
（2）當(dāng)DP=CP時(shí)，四邊形PMEN是菱形，P是AB的中點(diǎn)，所以可求出AP的值．
（3）四邊形PMEN是矩形的話，∠DPC必需為90°，判斷一下△DPC是不是直角三角形就行．
解答：解：（1）∵M(jìn)、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)，
∴ME是PC的中位線，NE是PD的中位線，
∴ME∥PC，EN∥PD，
∴四邊形PMEN是平行四邊形；

（2）當(dāng)AP=5時(shí)，
在Rt△PAD和Rt△PBC中，
，
∴△PAD≌△PBC，
∴PD=PC，
∵M(jìn)、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)，
∴NE=PM=PD，ME=PN=PC，
∴PM=ME=EN=PN，
∴四邊形PMEN是菱形；

（3）四邊形PMEN可能是矩形．
若四邊形PMEN是矩形，則∠DPC=90°
設(shè)PA=x，PB=10-x，
DP=，CP=．
DP²+CP²=DC²
16+x²+16+（10-x）²=10²
x²-10x+16=0
x=2或x=8．
故當(dāng)AP=2或AP=8時(shí)，四邊形PMEN是矩形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平行四邊形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性質(zhì)，知道矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)邊相等等性質(zhì)．