Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)M在BC邊上，且∠MDF=∠ADF．

（1）求證：△ADE≌△BFE．

（2）連接EM，如果FM=DM，判斷EM與DF的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）EM與DM的關(guān)系是EM垂直且平分DF；理由見解析.

【解析】試題分析：（1）由平行線的性質(zhì)得出∠ADE=∠BFE，由E為AB的中點(diǎn)，得出AE=BE，由AAS證明△AED≌△BFE即可；

（2）由△AED≌△BFE，得出對(duì)應(yīng)邊相等DE=EF，證明FM=DM，由三角形的三線合一性質(zhì)得出EM⊥DF，即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）證明：∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠BFE，

∵E為AB的中點(diǎn)，

∴AE=BE，

在△AED和△BFE中，

，

∴△AED≌△BFE（AAS）；

（2）解：EM與DM的關(guān)系是EM垂直且平分DF；理由如下：

連接EM，如圖所示：

由（1）得：△AED≌△BFE，

∴DE=EF，

∵∠MDF=∠ADF，∠ADE=∠BFE，

∴∠MDF=∠BFE，

∴FM=DM，

∴EM⊥DF，

∴ME垂直平分DF．