Question

16．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P為邊AD上一動點（不與A、D重合），將正方形ABCD折疊，使點B落在P處，C落在Q處，PQ交CD于點G，折痕為EF，連接BP、BG，則△PBG的面積的最小值為16$\sqrt{2}$-16．

Answer 1

分析 設(shè)AP=PM=x，PG=y，MG=CG=y-x，DG=4（y-x）=4+x-y，PD=4-x，在直角△PDG中利用勾股定理列方程，則y即可用x表示，根據(jù)不等式的性質(zhì)求得PG的最小值，然后利用三角形的面積公式求解．

解答 解：過B作BM⊥PQ于M，連接CQ，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AD∥BC，
∴∠A=∠BMP，∠APB=∠PBC，
∵將正方形ABCD折疊，使點B落在P處，
∴∠BPM=∠PBC，
∴∠APB=∠BPM，
在△ABP與△MPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠MPB}\\{∠A=∠PMB}\\{PB=PN}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△MPB，
設(shè)AP=PM=x，PG=y，
MG=CG=y-x，DG=4（y-x）=4+x-y，
PD=4-x，
∵PD²+DG²=PG²，
∴（4-x）²+（4+x-y）²=y²，
則y=$\frac{32+{x}^{2}}{2x+8}$=$\frac{{x}^{2}+16}{x+4}$，
設(shè)t=x+4，則x=t-4，
∴y=$\frac{（t-4）^{2}+16}{t}$=$\frac{{t}^{2}-8t+32}{t}$=t+$\frac{32}{t}$-8．
當(dāng)t=4$\sqrt{2}$時，y最小，此時x=4$\sqrt{2}$-4．
∴y=$\frac{{x}^{2}+16}{x+4}$=$\frac{（4\sqrt{2}-4）^{2}+16}{4\sqrt{2}}$=8$\sqrt{2}$-8．
則S的最小值是$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{2}$-8）×4=16$\sqrt{2}$-16．
故答案是：16$\sqrt{2}$-16．

點評 本題考查了圖形的折疊，以及勾股定理，利用不等式的性質(zhì)求得y的最小值是解決本題的關(guān)鍵．