Question

如圖1，直線y=x與直線y=-2x+4交于點A，點P是直線OA上一動點，作PQ∥x軸交直線y=-2x+4于點Q，以PQ為邊，向下作正方形PQMN，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t．
（1）求交點A的坐標(biāo)；
（2）求點P從點O運動到點A過程中，正方形PQMN與△OAB重疊的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在點Q，使△OCQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）聯(lián)立得方程組，
解得：，
故交點A的坐標(biāo)為A（）；

（2）∵P（t，t），PQ∥x軸交直線y=-2x+4于點Q，
∴Q（，t），
∴PQ=-t=，
當(dāng)點N落在x軸上時，
∵PN=PQ
∴t=，
解得：t=，
①當(dāng)0＜t≤時，S=t•=-t²+2t；
②當(dāng)時，S=PQ²=（）²=t²-6t+4；

（3）存在點Q，使△OCQ為等腰三角形．
∵點C是直線y=-2x+4與y軸的交點，與x軸交于點B，
∴點C（0，4），B（2，0），
即OC=4，OB=2，
∴BC==2，
①若CQ₁=OQ₁，過點Q₁作Q₁D⊥OC，
則OD=OC=2，
當(dāng)y=2時，即-2x+4=2，
解得：x=1，
∴點Q₁（1，2）；
②若OC=CQ=4，
過點Q₂作Q₂E⊥OC于點E，則Q₂E∥OB，
∴△CQ₂E∽△CBO，
∴，
即，
解得：Q₂E=，
∴當(dāng)x=時，y=-2×+4=4-，
∴點Q₂（，4-）；
同理：點Q₃（-，4+）；
③若OQ₄=OC=4時，過點Q₄作Q₄F⊥x軸，
設(shè)點Q₄（x，-2x+4），
∴x²+（-2x+4）²=16，
解得：x=，x=0（舍去），
∴點Q₄（，-）；
綜上可得：一共有4個點滿足，分別為：Q₁（1，2），Q₂（，4-），Q₃（-，4+），Q₄（，-）．
分析：（1）由題意可聯(lián)立得方程組，解此方程組即可求得交點A的坐標(biāo)；
（2）由P（t，t），PQ∥x軸交直線y=-2x+4于點Q，可得Q（，t），然后由當(dāng)點N落在x軸上時，PN=PQ，求得t的值，然后分別從當(dāng)0＜t≤時與當(dāng)時去分析求解即可求得答案；
（3）首先求得點B與C的坐標(biāo)，繼而求得BC的長，再分別從若CQ₁=OQ₁，若OC=CQ=4與若OQ₄=OC=4時去分析求解即可求得答案．
點評：此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．