【題目】如圖,在ABCD中,以點A為圓心,AB長為半徑畫弧交AD于點F,再分別以點B、F為圓心,大于 BF的相同長為半徑畫弧,兩弧交于點P;連接AP并延長交BC于點E,連接EF,則所得四邊形ABEF是菱形. (Ⅰ)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程,求證:四邊形ABEF是菱形;
(Ⅱ)若菱形ABEF的周長為16,AE=4 ,求∠C的大。

【答案】解:(Ⅰ)在△AEB和△AEF中, ,
∴△AEB≌△AEF,
∴∠EAB=∠EAF,
∵AD∥BC,
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB,
∴BE=AB=AF.
∵AF∥BE,
∴四邊形ABEF是平行四邊形,
∵AB=BE,
∴四邊形ABEF是菱形;
(Ⅱ)如圖,連結(jié)BF,交AE于G.
∵菱形ABEF的周長為16,AE=4
∴AB=BE=EF=AF=4,AG= AE=2 ,∠BAF=2∠BAE,AE⊥BF.
在直角△ABG中,∵∠AGB=90°,
∴cos∠BAG= = =
∴∠BAG=30°,
∴∠BAF=2∠BAE=60°.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠C=∠BAF=60°.

【解析】(Ⅰ)先證明△AEB≌△AEF,推出∠EAB=∠EAF,由AD∥BC,推出∠EAF=∠AEB=∠EAB,得到BE=AB=AF,由此即可證明; (Ⅱ)連結(jié)BF,交AE于G.根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=4,AG= AE=2 ,∠BAF=2∠BAE,AE⊥BF.然后解直角△ABG,求出∠BAG=30°,那么∠BAF=2∠BAE=60°.再根據(jù)平行四邊形的對角相等即可求出∠C=∠BAF=60°.
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分才能正確解答此題.

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﹣3,﹣4,﹣5,+1,+3,+2,0,﹣1.5,+1,+2.5

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