Question

【題目】如圖：銳角△ABC中，∠C＝2∠B，AD是高，求證：AC+CD＝BD．

線段和差，通常用截長或補(bǔ)短法證明，下面是甲、乙兩位同學(xué)的思路，請你按他們的思路，給出一種證明．

甲：截長法，在DB上截取DE＝DC，連AE，去證BE＝AC；

乙：補(bǔ)短法，延長DC到E，使CE＝CA，連接AE，去證DB＝DE．

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】

甲：由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=AC，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AEC=∠C，由外角性質(zhì)可得∠B=∠BAE，可得AE=BE=AC，即可得結(jié)論；

乙：由外角性質(zhì)可得∠ACB=2∠E，可得∠B=∠E，可得AB=AE，由等腰三角形的性質(zhì)可得BD=DE，即可得結(jié)論．

解：甲：截長法，如圖1，在DB上截取DE＝DC，連AE，

∵DE＝DC，AD⊥BC，

∴AE＝AC，

∴∠AEC＝∠C，且∠C＝2∠B，

∴∠AEC＝∠B，且∠AEC＝∠B+∠BAE，

∴∠B＝∠BAE，

∴AE＝BE＝AC，

∴BD＝BE+DE＝AC+CD

乙：補(bǔ)短法，延長DC到E，使CE＝CA，連接AE，

∵CE＝CA，

∴∠E＝∠CAE，且∠ACB＝∠E+∠CAE，

∴∠ACB＝2∠E，且∠ACB＝2∠B，

∴∠B＝∠E，

∴AB＝AE，且AD⊥BC，

∴BD＝DE，

∵DE＝DC+CE＝AC+DC，

∴BD＝DC+AC．