Question

18．四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD為其中一條對(duì)角線，且∠BAD=2∠BDC．
（1）如圖1，求證：BC=CD；
（2）如圖2，作CE∥DB，BE⊥CE，連接OD，若OD平分∠ADB，求證：AD=2CE；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AC，若BC=5，AC=11，求四邊形ACEB的面積．

Answer 1

分析 （1）與圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A+∠C=180°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠C+∠BDC+∠DBC=180°，得出∠A=∠BDC+∠DBC，再由已知條件證出BDC=∠DBC，即可得出結(jié)論；
（2）連接OC交BD于M，延長(zhǎng)DO交⊙O于N，由（1）得：CB=CD，得出$\widehat{CB}=\widehat{CD}$，由才知道了得出OC⊥BD，BM=DM=$\frac{1}{2}$BD，∠BMC=90°，證出四邊形BECM是矩形，得出BM=CE，由角平分線得出∠ADN=∠BDN，由圓周角定理證出$\widehat{AN}=\widehat{BN}$，由垂徑定理得出DN垂直平分AB，證出AD=BD，即可得出結(jié)論；
（3）在AC上截取AF=BC=5，連接DF，過D作DG⊥AC于G，過B作BH⊥AC于H，連接OC，如圖2所示：由（2）得：AD=BD=2CE，由ASA證明△DAF≌△DBC，得出DF=DC=5，由等腰三角形的性質(zhì)得出CG=FG=3，求出AG=AF+FG=8，由勾股定理求出DG=4，由三角函數(shù)求出tan∠DAG=$\frac{DG}{AG}$=$\frac{1}{2}$，證出∠BAC=∠DAG，得出∠BAC=$\frac{BH}{AH}$=$\frac{1}{2}$，得出AH=2BH，設(shè)BH=x，AH=2x，則CH=11-2x，在Rt△BCH中，由勾股定理得出方程，解方程求出BH，求出△ABC的面積，證出CE為⊙O的切線，由弦切角定理得出∠BCE=∠BCA，由三角函數(shù)得出BE=$\sqrt{5}$，CE=2$\sqrt{5}$，求出△BCE的面積，得出四邊形ACEB的面積=△ABC的面積+△BCE的面積$\frac{157}{5}$．

解答 （1）證明：如圖1所示：
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C+∠BDC+∠DBC=180°，
∴∠A=∠BDC+∠DBC，
∵∠BAD=2∠BDC，
∴∠BDC=∠DBC，
∴BC=CD；
（2）證明：連接OC交BD于M，延長(zhǎng)DO交⊙O于N，如圖2所示：
由（1）得：CB=CD，
$\widehat{CB}=\widehat{CD}$，
∴OC⊥BD，
∴BM=DM=$\frac{1}{2}$BD，∠BMC=90°，
∵CE∥DB，
∴∠MCE=180°-90°=90°，
又∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∴四邊形BECM是矩形，
∴BM=CE，
∵OD平分∠ADB，
∴∠ADN=∠BDN，
∴$\widehat{AN}=\widehat{BN}$，
∴DN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴AD=2BM=2CE；
（3）解：在AC上截取AF=BC=5，連接DF，過D作DG⊥AC于G，過B作BH⊥AC于H，如圖3所示：
由（2）得：AD=BD=2CE，
∵AF=DF，
∴∠DAF=∠ADF，
∵∠DAF=∠DBC，∠BDC=∠DBC，
∴∠DAF=∠ADF=∠BDC=∠DBC，
在△DAF和△DBC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠BDC}&{\;}\\{AD=BD}&{\;}\\{∠DAF=∠DBC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△DBC（ASA），
∴DF=DC=5，
∴CG=FG，
∵AC=11，
∴CG=FG=3，
∴AG=AF+FG=8，DG=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴tan∠DAG=$\frac{DG}{AG}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC=CD，
∴$\widehat{BC}=\widehat{CD}$，
∴∠BAC=∠DAG，
∴tan∠BAC=$\frac{BH}{AH}$=$\frac{1}{2}$，
∴AH=2BH，
設(shè)BH=x，AH=2x，
∴CH=11-2x，
在Rt△BCH中，BH²+CH²=BC²，
即x²+（11-x）²=5²，
解得：x=4（舍去），或x=$\frac{24}{5}$，
∴BH=$\frac{24}{5}$，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$AC•BH=$\frac{1}{2}$×11×$\frac{24}{5}$=$\frac{132}{5}$，
∵OC⊥BD，CE∥BD，
∴OC⊥CE，
∴CE為⊙O的切線，
∴∠BCE=∠BCA，
∴tan∠BCE=$\frac{BE}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC=5，
∴BE=$\sqrt{5}$，CE=2$\sqrt{5}$，
∴△BCE的面積=$\frac{1}{2}$BE•CE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=5，
∴四邊形ACEB的面積=△ABC的面積+△BCE的面積=$\frac{132}{5}$+5=$\frac{157}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓的綜合題目，考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系、垂徑定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理、切線的判定、弦切角定理、三角函數(shù)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，需要通過作輔助線才能得出結(jié)論．