Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D.

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長度.

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）6

【解析】

試題分析：（1）連接OC，根據題意可證得∠CAD+∠DCA=90°，再根據角平分線的性質，得∠DCO=90°，則CD為⊙O的切線；

（2）過O作OF⊥AB，則∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四邊形OCDF為矩形，設AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x）²+（6-x）²=25，從而求得x的值，由勾股定理得出AB的長．

試題解析：（1）連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠CAO，

∴∠DAC=∠OCA，

∴PB∥OC，

∵CD⊥PA，

∴CD⊥OC，CO為⊙O半徑，

∴CD為⊙O的切線；

（2）過O作OF⊥AB，垂足為F，

∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，

∴四邊形DCOF為矩形，

∴OC=FD，OF=CD．

∵DC+DA=6，

設AD=x，則OF=CD=6-x，

∵⊙O的直徑為10，

∴DF=OC=5，

∴AF=5-x，

在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．

即（5-x）²+（6-x）²=25，

化簡得x2-11x+18=0，

解得x1=2，x2=9．

∵CD=6-x大于0，故x=9舍去，

∴x=2，

從而AD=2，AF=5-2=3，

∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F(xiàn)為AB的中點，

∴AB=2AF=6．

考點：1.切線的判定和性質；2.勾股定理；3.矩形的判定和性質4.垂徑定理