Question

已知拋物線y=-x²+mx+3與x軸的一個交點A（3，0），另一個交點為B，與y軸的交點為C，頂點為D．
（1）請分別求出點B，C，D的坐標；
（2）請在圖中畫出拋物線的草圖，若點E（-2，n）在直線BC上，試判斷點E是否在經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的圖象上，把你的判斷過程寫出來；
（3）若過點A的直線L與x軸所夾銳角a的正切值滿足tana≤

1

3

，試求直線L與拋物線另一個交點橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先將點A的坐標代入解析式求出拋物線的解析式，然后根據(jù)y=0就可以求出與x軸的另一個交點B的坐標，當x=0時，就可以求出與y軸的加點C的坐標，最后將拋物線的一般式化為頂點式就可以求出頂點坐標．
（2）利用（1）的點的點坐標就可以畫出函數(shù)的大致圖象，根據(jù)B、C的坐標可以求出BC的解析式，從而求出E點的坐標，最后代入過點D的反比例函數(shù)的解析式就可以確定是否在反比例函數(shù)的圖象上．
（3）先設(shè)出直線與拋物線的另一個交點坐標，根據(jù)三角函數(shù)值表示出相應(yīng)的線段的長度，在根據(jù)這一點的位置情況從兩種不同的情況就可以確定直線L與拋物線另一個交點橫坐標的取值范圍．

解答：解：（1）∵A（3，0）在y=-x²+mx+3上，則-9+3m+3=0，m=2
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3
∴C（0，3）
∴B（-1，0）
配方，得：y=-（x-1）²+4
∴D（1，4）
∴B（-1，0），C（0，3），D（1，4）

（2）如圖，直線BC的解析式為：y=3x+3
∵點E（-2，n）在y=3x+3上
∴n=-3，E（-2，-3）
過點D的反比例函數(shù)的解析式為：y=

4

x

當x=-2時，y=-2≠-3
∴點E不在反比例函數(shù)的圖象上

（3）設(shè)直線L與拋物線的另一交點為P（m，n）
則n=-m²+2m+3
過P作PG⊥AB于點G．
∵tanα≤

1

3

當tanα=

1

3

時，則PG=

1

3

AG，PG=|n|，AG=3-m
①當點P在x軸的上方時，則n＞0，得方程-m²+2m+3=

1

3

（3-m），解得：m₁=3（舍去），m₂=-

2

3

②當點P在x軸的下方時，則n＜0，得方程-m²+2m+3=

1

3

（3-m），解得：m₁=3（舍去），m₂=-

4

3

∴結(jié)合圖形，P點的橫坐標的取值范圍是：-

4

3

≤m≤-

2

3

且m≠-1

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，由解析式求交點坐標，判斷某個點是否在某個函數(shù)的圖象上及確定自變量的取值范圍．