Question

【題目】如圖，在RtABC中，∠C=90，AC=8，BC=6，O為ABC的內切圓，OA，OB與O分別交于點D，E，則劣弧DE的長是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作OF⊥AC于點F，OG⊥BC于點G，OH⊥AB于點H，得到四邊形CFOG是矩形，根據切線長定理得到圓O的半徑，再根據角平分線得到劣弧DE所對的圓心角，最后根據弧長的計算公式即可解答．

解：如圖，作OF⊥AC于點F，OG⊥BC于點G，OH⊥AB于點H，

設圓O的半徑為r，

則四邊形CFOG是矩形，

在Rt△ABC中，∵∠C=90，AC=8，BC=6，

∴AB=，

∵O為ABC的內切圓，

∴OF=OG，

∴矩形CFOG是正方形，

∴CF=CG=r，

則AF=AH=8-r，BG=BH=6-r，

∴AH+BH=8-r+6-r=10，解得：r=2，

又∵O為ABC的內切圓，

∴OA，OB分別平分∠CAB、∠ABC，

∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC，

∵∠C=90°，

∴∠OAB+∠OBA=(∠CAB+∠ABC)=×90°=45°，

∴∠DOE=180°-(∠OAB+∠OBA)=135°，

∴劣弧DE的長是：，

故答案為：．