【題目】如圖甲,點(diǎn)C將線段AB分成兩部分(AC>BC),如果=,那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).某數(shù)學(xué)興趣小組在進(jìn)行課題研究時(shí),由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”,類似地給出“黃金分割線”的定義:直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成面積分別為S1,S2(S1>S2)的兩部分,如果=,那么稱直線l為該圖形的黃金分割線.

(1)如圖乙,在ABC中,A=36°,AB=AC,ACB的平分線交AB于點(diǎn)D,請(qǐng)問點(diǎn)D是否是AB邊上的黃金分割點(diǎn),并證明你的結(jié)論;

(2)若ABC在(1)的條件下,如圖丙,請(qǐng)問直線CD是不是ABC的黃金分割線,并證明你的結(jié)論;

(3)如圖丁,在RtABC中,ACB=90°,D為斜邊AB上的一點(diǎn),(不與A,B重合)過D作DEBC于點(diǎn)E,連接AE,CD相交于點(diǎn)F,連接BF并延長(zhǎng),與DE,AC分別交于點(diǎn)G,H.請(qǐng)問直線BH是直角三角形ABC的黃金分割線嗎?并說明理由.

【答案】(1)點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn).(2)CDABC的黃金分割線.(3)BH不是ABC的黃金分割線.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)條件可以證明AD=CD=BC,由BCD∽△BCA,得到,則有,所以點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn).

(2)只要證明ACD:SABC=SBCD:SACD,即可得出直線CD是ABC的黃金分割線.

(3)只要證明AH=HC,則SABH=SCBH,所以BH不是ABC的黃金分割線.

解:(1)點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn).理由如下:

AB=ACA=36°,

∴∠B=ACB=72°,

CD是角平分線,

∴∠ACD=BCD=36°,

∴∠A=ACD,

AD=CD

∵∠CDB=180°BBCD=72°,

∴∠CDB=B,

BC=CD

BC=AD

BCDBCA中,B=B,BCD=A=36°,

∴△BCD∽△BAC,

,

,

點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn).

(2)直線CD是ABC的黃金分割線.理由如下:

設(shè)ABC中,AB邊上的高為h,則SABC= ABh,SACD= ADh,SBCD= BDh,

SACD:SABC=AD:AB,SBCD:SACD=BD:AD,

由(1)知,點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn),

,

SACD:SABC=SBCD:SACD,

CDABC的黃金分割線.

(3)直線BH不是ABC的黃金分割線.理由如下:

DEAC,

,

,,

,

AH2=HC2,

AH=HC,

SBHA=SBHC=SABC,

BH不是ABC的黃金分割線.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)用列表法或畫樹狀圖表示出(a,b)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;

(2)求小強(qiáng)、小華各取一次小球所確定的點(diǎn)(a,b)落在二次函數(shù)y=x2的圖象上的概率;

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