【題目】如圖,在平面直角坐標系中,坐標原點O是菱形ABCD的對稱中心.邊AB與x軸平行,點B(1,-2),反比例函數(shù) (k≠0)的圖象經(jīng)過A,C兩點.

(1)求點C的坐標及反比例函數(shù)的解析式.
(2)直線BC與反比例函數(shù)圖象的另一交點為E,求以O,C,E為頂點的三角形的面積.

【答案】
(1)解:連結AC,BD,

∵坐標原點O是菱形ABCD的對稱中心,
∴AC,BD相交于點O,
且∠AOB=90°,
∵B(1,﹣2),且AB∥x軸,
∴設A(a,﹣2),則AO2=a2+4,BO2=5,AB2=(1﹣a)2
在Rt△AOB中,由勾股定理得(1﹣a)2=a2+4+5,解得a=﹣4,
∴A(﹣4,﹣2),∴C(4,2),
∵反比例函數(shù) (k≠0)的圖象經(jīng)過A,C兩點,
∴反比例函數(shù)解析式為 ;
(2)解:連結OE,則△OCE是以O,C,E為頂點的三角形,設直線BC的解析式為y=kx+b,
∵點B(1,﹣2),C(4,2)在該直線上,
,解得: ,
∴直線BC的解析式為 ,設其與y軸交于點F(0, ),
∵反比例函數(shù)為 ,∴ ,解得x1=4,x2=
∴點E的橫坐標為 ,
∴以O,C,E為頂點的三角形的面積= =
【解析】(1)連結AC,BD,根據(jù)坐標原點O是菱形ABCD的對稱中心,可得AC,BD相交于點O,根據(jù)菱形的性質得出∠AOB=90°,根據(jù)B(1,-2),且AB∥x軸,可設A(a,-2),則AO2=a2+4,BO2=5,AB2=(1-a)2 , 在Rt△AOB中,由勾股定理可得點A、C的坐標,再根據(jù)待定系數(shù)法可求反比例函數(shù)解析式。
(2)連結OE,則△OCE是以O,C,E為頂點的三角形,利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式,再求出直線BC與y軸的交點坐標,然后將反比例函數(shù)和直線BC聯(lián)立方程組,求解得出點E的坐標,再根據(jù)三角形的面積公式計算即可得出答案。
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達式和勾股定理的概念的相關知識點,需要掌握確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題.

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