Question

如圖所示，在△ABC中，DC上AC交AB于點D，若S_△ACD：S_△CDB=2：3，cos∠DCB=

4

5

，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

分析：過D作DE垂直DC，交BC于點E，如圖所示，由AC與CD垂直，得到DE與AC平行，在直角三角形CDE中，由cos∠DCB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出CD與CE的比值，設(shè)出CD=4x，CE=5x，利用勾股定理得到DE=3x，再由三角形ACD與三角形CDB面積之比，根據(jù)AD、DB邊上的高相等得到AD與DB的比值，進而確定出DB與AB之比，由DE與AC平行，利用平行得相似，求出DE與AC之比，表示出AC，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出tanA的值，查表即可求出∠A的度數(shù)．

解答：解：作DE⊥DC，交CB于點E，如圖所示，
∵AC⊥CD，
∴DE∥AC，
在Rt△CDE中，cos∠DCB=

4

5

=

CD

CE

，
設(shè)CD=4x，CE=5x，則DE=3x，
∵S_△ACD：S_△CDB=2：3，△ACD與△CDB中AD、DB邊上的高相等，
∴AD：DB=2：3，
∴DB：AB=3：5，
∵DE∥AC，
∴

DE

AC

=

DB

AB

=

3

5

，
∵DE=3x，
∴AC=5x，
在Rt△ACD中，tanA=

CD

AC

=

4x

5x

=

4

5

，
則∠A≈38°40′．

點評：此題考查了解直角三角形題型，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．