Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連結(jié)PQ。若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0<t<2)，解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)？PQ//BC？
（2）設(shè)△APQ的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系？
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由。
（4）如圖2，連結(jié)PC，并把△PQC沿AC翻折，得到四邊形PQP'C，那么是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQP'C為菱形？若存在求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

試題分析：（1）當(dāng)PQ∥BC時(shí)，我們可得出三角形APQ和三角形ABC相似，那么可得出關(guān)于AP，AB，AQ，AC的比例關(guān)系，我們觀察這四條線段，已知的有AC，根據(jù)P，Q的速度，可以用時(shí)間t表示出AQ，BP的長(zhǎng)，而AB可以用勾股定理求出，這樣也就可以表示出AP，那么將這些數(shù)值代入比例關(guān)系式中，即可得出t的值．
（2）求三角形APQ的面積就要先確定底邊和高的值，底邊AQ可以根據(jù)Q的速度和時(shí)間t表示出來．關(guān)鍵是高，可以用AP和∠A的正弦值來求．AP的長(zhǎng)可以用AB-BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ邊上的高后，就可以得出y與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）如果將三角形ABC的周長(zhǎng)和面積平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的長(zhǎng)，那么可以求出此時(shí)t的值，我們可將t的值代入（2）的面積與t的關(guān)系式中，求出此時(shí)面積是多少，然后看看面積是否是三角形ABC面積的一半，從而判斷出是否存在這一時(shí)刻．
（4）過點(diǎn)P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PNCM就是個(gè)矩形，解題思路：通過三角形BPN和三角形ABC相似，得出關(guān)于BP，PN，AB，AC的比例關(guān)系，即可用t表示出PN的長(zhǎng)，也就表示出了MC的長(zhǎng)，要想使四邊形PQP'C是菱形，PQ=PC，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)，QM=MC，這樣有用t表示出的AQ，QM，MC三條線段和AC的長(zhǎng)，就可以根據(jù)AC=AQ+QM+MC來求出t的值．求出了t就可以得出QM，CM和PM的長(zhǎng)，也就能求出菱形的邊長(zhǎng)了．
試題解析：(1) 連接PQ，

若時(shí)，PQ//BC，即，
∴ t=
(2) 過P作PD⊥AC于點(diǎn)D，則有，
即，
∴ PD=
∴  y==（0<t<2)
(3) 若平分周長(zhǎng)則有：
AP+AQ=(AB+AC+BC),
即：5－t+2t=6，
∴ t=1
當(dāng)t=1時(shí)，y=3.4；而三角形ABC的面積為6，顯然不存在。
過P作PD⊥AC于點(diǎn)D，若QD=CD，則PQ=PC，四邊形PQP'C就為菱形。

同(2)方法可求AD=，所以：
-2t=4-；
解之得：t=。
即t=時(shí)，四邊形PQP'C為菱形。
考點(diǎn): 相似形綜合題.