Question

【題目】在矩形中，，，分別以，所在直線為軸和軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)，連接，，．

（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，與的面積差記為，求當(dāng)為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？

（3）是否存在這樣的點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，有最大值，S最大值；（3）存在，

【解析】

（1）由OA與OB的長(zhǎng)，根據(jù)C位于第一象限點(diǎn)，即可確定出C的坐標(biāo)，再求出BF的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題；

（2）應(yīng)分別用矩形面積和能用圖中的點(diǎn)表示出的三角形的面積表示出所求的面積，利用二次函數(shù)求出最值即可．

（3）存在這樣的點(diǎn)F，使得△OEF為直角三角形，理由為：由∠EOF為銳角，不可能為直角，設(shè)BF=a，由OB=6，得到F（6，a），代入反比例解析式得：k=6a；由OA=4，得到4AE=k=6a，即AE=AE=1.5a，EC=AC-AE=6-1.5a，CF=BC-BF=4-a；分兩種情況考慮：當(dāng)∠OEF為直角時(shí)，得到三角形AOE與三角形ECF相似，由相似得比例，將各自的值代入列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值；當(dāng)∠OFE為直角時(shí)，同理求出a的值，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意，綜上得到滿足題意a的值．

解：（1），，且在第一象限，

的坐標(biāo)為；

，

，

，

故答案為：；

（2）解：，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，

，

，

，

，

，

，

，

當(dāng)時(shí)，有最大值．

．

（3）存在，理由為：

設(shè)，由，得到，代入反比例函數(shù)解析式得：；

由，得到，即，

，，

由為銳角，不可能為直角，

故分兩種情況討論：

①當(dāng)時(shí)，可得，

又，且，

，

，即，

整理得，

解得：，，

；

②當(dāng)時(shí)，同理：，

，即，

整理得，

解得，均不合題意，

，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，為直角三角形．